Matematika Minat

Fungsi Probabilitas

Distribusi peluang variabel acak diskrit

Nilai pada variabel acak diskrit memiliki peluang.

Peluang nilai variabel acak X dinotasikan dengan f(x)=P(X=x).

Bentuk penyajian peluang nilai-nilai variabel acak diskrit disebut dengan distribusi peluang variabel acak. 

Distribusi peluang dapat dinyatakan dalam bentuk tabel, grafik, atau fungsi. 

Distribusi peluang disebut juga distribusi probabilitas atau fungsi peluang atau fungsi probabilitas.

Contoh soal:

Diana melakukan pelemparan sebuah dadu. Variabel X menyatakan mata dadu yang muncul.

Pembahasan:
X = mata dadu yang muncul sehingga dapat dinyatakan X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Peluang diperoleh hasil mata dadu 1 yaitu f(1)= P (X=1) = 1/6
• Peluang diperoleh hasil mata dadu 2 yaitu f(2)= P (X=2) = 1/6
• Peluang diperoleh hasil mata dadu 3 yaitu f(3)= P (X=3) = 1/6
• Peluang diperoleh hasil mata dadu 4 yaitu f(4)= P (X=4) = 1/6
• Peluang diperoleh hasil mata dadu 5 yaitu f(5)= P (X=5) = 1/6
• Peluang diperoleh hasil mata dadu 6 yaitu f(6)= P (X=6) = 1/6

Distribusi peluang kumulatif variabel acak diskrit

Peluang variabel acak X yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai x, ditulis dengan F(x) = P (X=x). 

Nilai F(x) tersebut dinamakan peluang kumulatif. 

Misalkan x = c merupakan salah satu nilai variabel acak X yang memiliki peluang F(x), maka nilai F(c) dinyatakan dengan :



Contoh soal:

Farhan melakukan pelemparan sebuah dadu. Variabel X menyatakan mata dadu yang muncul. Tentukan nilai dari
a. F(1)
b. F(3)
c. F(5)

Pembahasan:
Ruang sampel dari pelemparan sebuah dadu adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
X = mata dadu yang muncul sehingga dapat dinyatakan X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
a. F(1) = P(X < 1) = f(1) = 1/6
b. F(3) = P(X < 3) = f(1) + f(2) + f(3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2
c. F(5) = P(X < 5) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6

Sifat-Sifat Distribusi Peluang

Misalkan x adalah variabel acak diskrit yang bernilai x₁,x₁,x₁,…,x₁ dan f(x₁) merupakan peluang nilai-nilai variabel acak X dengan i=1,2,3,4,…,n maka f(x₁) memenuhi dua sifat berikut:

 

Fungsi Distribusi Binomial

Variabel Acak Binomial

Variabel acak binomial merupakan variabel acak yang nilai-nilainya ditentukan oleh hasil percobaan binomial. 
Beberapa syarat pada percobaan binomial sebagai berikut:

1. Percobaan dilakukan berulang-ulang.
2. Percobaan bersifat saling bebas atau dengan pengembalian. Hasil percobaan yang satu tidak mempengaruhi hasil percobaan yang lain.
3. Setiap percobaan memiliki dua macam kejadian yaitu kejadian yang diharapkan disebut sukses dan kejadian yang tidak diharapkan disebut gagal.
4. Peluang setiap kejadian tetap dalam setiap percobaan.

Percobaan binomial dapat diamati melalui percobaan pelambungan uang logam.

 
Perhatikan contoh berikut!

Raka melambungkan sekeping uang logam sebanyak 3 kali. Pada setiap pelemparan dilakukan pencatatan terhadap sisi angka. Percobaan ini merupakan percobaan binomial dengan alasan sebagai berikut:

1. Percobaan dilakukan secara berulang-ulang.
2. Percobaan saling bebas.
3. Percobaan memiliki dua macam ekjadian yaitu keluar sisi angka atau keluar sisi gambar.

Karena uang logam dilambungkan lagi, maka peluang sisi angka dalam setiap percobaan selalu sama yaitu 1/2.

 

Fungsi Distribusi Binomial

Telah dibahas tadi bahwa setiap percobaan memiliki dua macam kejadian yaitu sukses dan gagal.

Oleh karena itu jumlah peluang kedua kejadian dalam setiap percobaan akan sama dengan satu karena nilai yang berimbang. 

Peluang nilai-nilai variabel acak binomial dapat disusun dalam bentuk tabel atau grafik sehingga diperoleh distribusi peluang variabel acak binomial. 

Distribusi peluang variabel acak binomial disebut distribusi binomial. Peluang suatu nilai variabel acak binomial dinamakan peluang binomial. 

Secara umum rumus peluang binomial x kejadian yang diharapkan dari n percobaan binomial dinyatakan:

Contoh:

Irwan melakukan latihan tendangan penalti sebanyak 3 kali. Peluang sukses melakukan tendangan sebesar 4/5 . Peluang Irwan mencetak tepat dua gol adalah….

Penyelesaian:
p = peluang sukses mencetak gol, maka p = 4/5
q = peluang gagal mencetak gol, maka q = 1 – p = 1 – 4/5 = 1/5

Tanpa rumus distribusi binomial: 
Misalkan M = tendangan masuk dan G = tendangan gagal 
Tepat mencetak dua gol yaitu MMG, MGM, GMM
1. Peluang hasil tendangan MMG maka peluangnya = 4/5 . 4/5 . 1/5 = 16/125
2. Peluang hasil tendangan MGM maka peluangnya = 4/5 . 1/5 . 4/5 = 16/125
3. Peluang hasil tendangan GMM maka peluangnya = 1/5 . 4/5 . 4/5 = 16/125

Jadi, peluang Irwan mencetak tepat dua gol yakni 16/125 + 16/125 + 16/125 = 48/125 = 0,384

Menggunakan rumus distribusi binomial: 
n = 3 
x = 2 
p = 4/5 
q = 1/5 

 

Fungsi Distribusi Binomial Kumulatif

Peluang paling banyak x kejadian yang diharapkan dinamakan fungsi distribusi binomial kumulatif. 

Misalkan x = t, maka peluang paling banyak t kejadian yang diharapkan dinyatakan dengan:

Contoh:

Rudi melakukan latihan tendangan penalti sebanyak tiga kali. Peluang sukses melakukan tendangan sebesar 4/5. Peluang Rudi mencetak paling banyak satu gol adalah….

Penyelesaian:
p = peluang sukses melakukan gol = 4/5 
q = peluang gagal mencetak gol = 1/5

Tanpa rumus distribusi binomial:
Misalkan M = tendangan masuk dan G = tendangan gagal 
Mencetak paling banyak satu gol MGG, GMG, GGM, GGG 
1) Peluang hasil tendangan MGG maka peluangnya = 4/5 .1/5 .1/5 = 4/125 
2) Peluang hasil tendangan GMG maka peluangnya = 1/5 .4/5 .1/5 = 4/125 
3) Peluang hasil tendangan GGM maka peluangnya = 1/5 .1/5 .4/5 = 4/125 
4) Peluang hasil tendangan GGG maka peluangnya = 1/5 .1/5 .1/5  = 1/125 
Jadi, peluang Rudi mencetak tepat dua gol yaitu 4/125 + 4/125 + 4/125 + 1/125 = 13/125 = 0,104

Menggunakan rumus distribusi binomial: 
n = 3 
x = 1 
p = 4/5 
q = 1/5 
Karena diharapkan mencetak paling banyak satu gol artinya bisa 0 gol atau 1 gol.

1.

Kerjakan soal berikut dengan benar!

Hammas mengerjakan 6 soal matematika. Variabel acak X menyatakan banyak soal yang dikerjakan dengan benar. Hasil yang mungkin untuk X adalah….

A. (0,1,2,3,4,5,6)
B. (1,2,3,4,5,6)
C. (0,1,2,3,4,5)
D. (0,6)
E. (6)

2.

Kerjakan soal berikut dengan benar!

Udin mengerjakan 10 soal dengan pilihan jawaban benar dan salah. Peluang Udin menjawab dengan benar sebanyak 6 soal adalah….

A. 0,1816
B. 0,2051
C. 0,2672
D. 0,3145
E. 0,3264