Matematika Minat

Distribusi Normal

Grafik Distribusi Normal

Pada suatu data frekuensi tertinggi biasanya berada di sekitar nilai rata-rata data (Mean).

Semakin jauh nilai data dari rata-rata (mean), frekuensinya akan semakin rendah. 

Misalkan rata-rata data µ sebaran data secara umum dapat digambarkan sebagai berikut:

Kurva di atas dikenal dengan nama kurva normal atau kurva lonceng karena bentuknya yang seperti lonceng. Persamaan dari kurva tersebut dinamakan fungsi distribusi normal atau distribusi Gauss. 

Fungsi distribusi normal dengan variabel acak X didefinisikan sebagai berikut:

Jika nilai rata-rata = 0 dan simpangan baku = 1 diperoleh distribusi normal baku (standar) yaitu N(0,1). 

Rumus fungsi variabel acak Z yang berdistribusi normal baku adalah sebagai berikut:

Nilai Peluang Variabel Acak Berdistribusi Normal Baku N(0,1)

Luas daerah yang dibatasi kurva normal baku N(0,1) dan sumbu mendatar adalah 1.

Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut:

Grafik distribusi normal baku N(0,1) bersifat simetris terhadap garis Z = 0 maka luas daerah di kiri dan kanan garis Z adalah sama, yaitu:

Menghitung luas daerah di bawah kurva normal tidaklah mudah karena harus melakukan pengintegralan terhadap fungsi eksponen.

Misalnya integral berikut untuk menentukan luas daerah di bawah kurva normal baku pada interval Z kurang dari sama dengan z seperti tampak pada gambar di bawah ini:

Perubahan bentuk dari normal umum menjadi normal baku dilakukan dengan Langkah-langkah sebagai berikut:

1. Cari Z_hitung dengan rumus:
   
2. Gambar kurvanya.
3. Tuliskan nilai Z_hitung pada sumbu x di kurva diatas dan tarik garis dari titik Z_hitung ke atas sehingga memotong garis kurva.
4. Luas yang terdapat dalam tabel merupakan luas daerah antara garis tegak ke titik 0 di tengah kurva.
5. Carilah tempat nilai z dalam tabel normal.
6. Luas kurva normal = 1, karena µ=0 , maka luas dari 0 ujung ke kiri = 0,5. Luas dari 0 ke titik kanan = 0,5.
7. Luas daerah kurva normal dicari dengan menggunakan tabel kurva normal baku.

Contoh:

Pembahasan:


Dari tabel distribusi normal baku diperoleh luas daerah di bawah kurva normal baku pada interval Z kurang dari sama dengan 1,45 adalah 0,9265. Jadi luas daerah L1 adalah 0,9265.
 

1.

Kerjakan soal berikut dengan benar!

Luas daerah yang dibatasi kurva normal N(0,1) pada interval Z < -0,42 adalah….

A. 0,0567
B. 0,3372
C. 0,5832
D. 0,6628
E. 0,7939

A

B

C

D

E

JAWABAN BENAR

B.

0,3372

PEMBAHASAN

Kurva normal N(0,1) pada interval Z < - 0,42 .Lihat gambar tabel z berikut:

Memeriksa P(Z < 0,42), fokus ke 0,42 = 0,4 + 0,02, periksa “0,4” pada kolom pertama, “z”, dan “0,02” pada baris teratas, dari “0,4” telusuri ke kanan, dari “0,02” telusuri ke bawah, persikuannya didapat 0,6628. Luas (Z < 0,42) = 0,6628. 
Luas (Z < -0,42) = 1 – Luas (Z < 0,42) = 1 – 0,6628 = 0,3372.

2.

Kerjakan soal berikut dengan benar!

Dalam suatu perguruan tinggi diperoleh data distribusi berat badan 8500 orang mahasiswa, diketahui mendekati normal dengan mean 53 kg dan deviasi standar 3 kg. Berapa persentase banyak mahasiswa yang berat badannya antara 50 kg dan 55 kg?

A. 33,33%
B. 58,99%
C. 67,89%
D. 89,99%
E. 167,0%

A

B

C

D

E

JAWABAN BENAR

B.

58,99%

PEMBAHASAN

rata-rata  = 53
simpangan baku  = 3
banyak mahasiswa = 8500
Akan dicari P(50 < X < 85) maka
P ( 50 < X < 55 ) = P (X < 55) – P (X < 50)
                           = P (Z<55 – 53/3) – P (Z<50 – 53/3)
                           = P (Z < 0,67) – P (Z < -1)
Nilai Z untuk 0,67 adalah 0,7486 dan nilai Z untuk -1 adalah 0,1587 sehingga
                           = 0,7486 – 0,1587
                           = 0,5899
                           = 58,99%