redesain-navbar Portlet

BelajarPintarV3

Konsep Himpunan

Hai Sobat Pintar, tahukah kalian bahwa di dalam kehidupan sehari-hari, kata himpunan ini dipadankan dengan kumpulan, kelompok, grup, atau gerombolan? Nah, dalam biologi misalnya, kita mengenal kelompok flora dan kelompok fauna. Di dalamnya, masih ada lagi kelompok vertebrata, kelompok invertebrata, kelompok dikotil, dan kelompok monokotil. Dalam kehidupan sehari-hari, kalian juga mengenal suku Jawa, suku Madura, suku Sasak, suku Dayak, suku Batak, dan lain-lain. Semua itu merupakan kelompok. Istilah kelompok, kumpulan, kelas, maupun gerombolan dalam matematika dikenal dengan istilah himpunan. Namun, tidak semua kumpulan termasuk himpunan. Contohnya kumpulan siswa yang pandai, kumpulan siswa yang berbadan tinggi. Mengapa demikian? Untuk menemukan jawabannya coba lakukan kegiatan berikut ini

Sobat Pintar berikut merupakan contoh kumpulan yang termasuk himpunan dan contoh kumpulan yang termasuk bukan himpunan

Kumpulan yang termasuk himpunan
1. Kumpulan siswa yang lahir pada bulan Agustus
2. Kumpulan siswa laki-laki
3. Kumpulan buah-buahan yang diawali dengan huruf M
4. Kumpulan nama kota di Indonesia yang diawali dengan huruf S
5. Kumpulan binatang yang berkaki dua
6. Kumpulan negara di Asia Tenggara

Kumpulan yang termasuk bukan himpunan
1. Kumpulan kota-kota besar di Indonesia
2. Kumpulan orang kaya di Indonesia
3. Kumpulan siswa yang pandai di sekolahmu
4. Kumpulan gunung yang tinggi di Indonesia
5. Kumpulan pelajaran yang disenangi siswa
6. Kumpulan makanan yang lezat

Penyajian Himpunan

Bagaimana dengan penjelasan sebelumnya tentang konsep himpunan? Sekarang kita lanjut memahami tentang penyajian himpunan.

Cara 1: Dinyatakan dengan menyebutkan anggotanya (enumerasi)
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan semua anggotanya yang dituliskan dalam kurung kurawal. Manakala banyak anggotanya sangat banyak, cara mendaftarkan ini biasanya dimodifikasi, yaitu diberi tanda tiga titik ("…") dengan pengertian “dan seterusnya mengikuti pola".

Cara 2: Dinyatakan dengan menuliskan sifat yang dimiliki anggotanya
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat yang dimiliki anggotanya. Perhatikan himpunan pada Contoh diatas dan bandingkan dengan contoh di bawah ini.

Contoh :

A adalah himpunan semua bilangan ganjil yang lebih dari 1 dan kurang dari 8.
B adalah himpunan semua bilangan prima yang kurang dari 10.
C adalah himpunan semua huruf vokal dalam abjad Latin.
D adalah himpunan bilangan bulat.
Sebelum kalian menyajikan himpunan dengan notasi pembentuk himpunan, sebaiknya kalian mengetahui dulu tentang himpunan bilangan dalam matematika sebagai berikut.

Cara 3: Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menuliskan syarat keanggotaan himpunan tersebut. Notasi ini biasanya berbentuk umum dimana x mewakili anggota dari himpunan, dan P(x) menyatakan syarat yang harus dipenuhi oleh x agar bisa menjadi anggota himpunan tersebut. Simbol x bisa diganti oleh variabel yang lain, seperti y, z, dan lain-lain. Misalnya bisa dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan

Lambang ini bisa dibaca sebagai "Himpunan x sedemikian sehingga x kurang dari 6 dan x adalah elemen bilangan asli). Tetapi, jika kita sudah memahami dengan baik, maka lambang ini biasanya cukup dibaca dengan "Himpunan bilangan asli kurang dari 6".

Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta

Sobat Pintar dalam keanggotaan himpunan, ada himpunan ynag tidak memiliki anggota, yang dinamakan dengan himpunan kosong. Dalam rangka memahami konsep himpunan kosong, coba kalian amati masalah dan alternatif pemecahannya berikut ini.

Contoh 1 :

Empat orang siswa (Batara, Simon, Sudraja, dan Marsius) memiliki kesempatan sama untuk memenangkan suatu hadiah undian. Agar salah satu dari keempat siswa dipilih secara adil menjadi pemenang, maka panitia memberikan satu dari empat pertanyaan tentang himpunan yang tersedia dalam kotak undian. Keempat pertanyaan pada kotak undian itu adalah sebagai berikut

1. Menentukan himpunan bilangan cacah yang kurang dari 0;
2. Menentukan himpunan bilangan bulat yang lebih besar dari 0 dan kurang dari 1;
3. Menentukan himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi 2;
4. Menentukan himpunan bilangan prima yang merupakan bilangan genap.

Pemenangnya adalah siswa yang dapat menemukan paling sedikit satu anggota himpunannya.

Setelah pengundian, Batara mendapatkan pertanyaan nomor 2, Simon mendapat pertanyaan nomor 3, Sudraja mendapat pertanyaan nomor 1, dan Marsius mendapat pertanyaan nomor 4. Siapakah siswa yang kemungkinan menjadi pemenang? Berikan alasanmu.

Penyelesaian :

Perhatikan keempat pertanyaan tersebut. Penyelesaian keempat pertanyaan ituadalah sebagai berikut.

1. Bilangan cacah yang kurang dari 0.
Ingat kembali bilangan cacah yang telah kalian pelajari waktu SD? Anggota bilangan cacah yang paling kecil adalah 0, sehingga himpunan yang diperoleh Sudraja adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.

2. Bilangan bulat yang lebih dari 0 dan kurang dari 1.
Tidak ada satupun bilangan bulat antara 0 dan 1, sehingga himpunan yang diperoleh Batara adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.

3. Bilangan ganjil yang habis dibagi 2.
Seluruh bilangan ganjil tidak akan habis dibagi dengan 2. Mengapa? Silakan bertanya kepada gurumu sehingga himpunan yang diperoleh Simon adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.
4. Bilangan prima yang merupakan bilangan genap.
Anggota himpunan bilangan prima yang merupakan bilangan genap adalah 2. Dengan demikian, himpunan yang diperoleh Marsius adalah himpunan yang banyak anggotanya tepat satu, yaitu {2}.

Berdasarkan keterangan tersebut, yang dapat menentukan anggota himpunan tepat satu adalah Marsius. Dengan demikian Marsius terpilih menjadi pemenang. Sementara Sudraja, Batara, dan Simon tidak menemukan anggota himpunan atau disebut dengan himpunan kosong.

Contoh 2 :

Tentukan himpunan semesta yang mungkin dari

Penyelesaian :

Himpunan Semesta yang mungkin dari himpunan A adalah

 

Jika masih ada yang dibingungkan sobat pintar bisa memilih menu diskusi dibawah ini

Diagram Venn

Cara menyajikan himpunan juga bisa dinyatakan dengan gambar atau diagram yang disebut dengan Diagram Venn. Diagram Venn diperkenalkan oleh pakar matematika Inggris bernama John Venn (1834 – 1923). Petunjuk dalam membuat diagram Venn antara lain:
a. Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang dan huruf S diletakkan di sudut kiri atas.
b. Setiap himpunan yang ada dalam himpunan semesta ditunjukkan oleh kurva tertutup sederhana.
c. Setiap anggota himpunan ditunjukkan dengan titik.
d. Bila anggota suatu himpunan mempunyai banyak anggota, maka anggotaanggotanya tidak perlu dituliskan.

Sobat Pintar mari kita amati penyajian diagram Venn dari contoh berikut.

Contoh 1:

Diagram Venn dari himpunan S ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, himpunan A = {1, 2, 3} dan himpunan B ={ 4, 5, 6} adalah sebagai berikut.

Penyelesaian :

Contoh 2:

Diagram Venn dari himpunan S ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, himpunan A ={1, 2, 3, 4}, himpunan B ={ 4, 5, 6, 7} adalah sebagai berikut.

Penyelesaian :

Contoh 3:

Diagram Venn dari himpunan S ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, himpunan A={1, 2, 3}, himpunan B ={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Penyelesaian :

Contoh 4:

Diagram Venn dari himpunan S ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, himpunan A={1, 2, 3, 4}, himpunan B ={ 1, 2, 3, 4} adalah sebagai berikut.

Penyelesaian :

Latihan

 Diagram Venn dari himpunan

 

A.

B.

C.

D.

LATIHAN

Tuliskan himpunan-himpunan di bawah ini

A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10

A. A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

B. A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

C. A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

D.

A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Kardinalitas Himpunan

Kardinalitas Himpunan adalah bilangan yang menyatakan banyaknya anggota dari suatu himpunan dan dinotasikan dengan n(A).

Agar lebih jelas, Sobat Pintar dapat menyimak contoh soal dibawah ini

Contoh :

Untuk merayakan hari ulang tahun Pak Zulkarnaen yang ke-50, dia mengajak istri dan ketiga anaknya makan di restoran. Setelah tiba di restoran mereka memesan makanan kesukaan masing-masing yang ada daftar menu restoran tersebut. Pak Zulkarnaen memesan ikan bakar, udang goreng, dan jus alpukat. Istrinya memesan ikan asam manis, bakso, dan jus terong belanda. Anak pertama Pak Zulkarnaen memesan ikan bakar, bakso, dan jus alpukat. Anak kedua memesan bakso dan jus terong belanda. Anak ketiganya memesan mie goreng dan jus sirsak.

1. Sebutkan anggota-anggota himpunan makanan kesukaan yang dipesan keluarga Pak Zulkarnaen.
2. Tuliskan seluruh anggota himpunan makanan yang dipesan keluarga Pak Zulkarnaen.
3. Adakah anggota keluarga Pak Zulkarnaen yang memesan makanan yang sama? Jika makanan yang sama ditulis sekali, berapa banyak makanan berbeda yang dipesan oleh keluarga Pak Zulkarnaen?

Penyelesaian :

1. Himpunan makanan kesukaan yang dipesan keluarga Pak Zulkarnaen adalah sebagai berikut.

a. Himpunan makanan kesukaan Pak Zulkarnaen adalah {ikan bakar, udang goreng, jus alpukat}.

b. Himpunan makanan kesukaan istri Pak Zulkarnaen adalah {ikan asam manis, bakso, jus terong belanda}.

c. Himpunan makanan kesukaan anak pertama Pak Zulkarnaen adalah {ikan bakar, bakso, jus alpukat}.

d. Himpunan makanan kesukaan anak kedua Pak Zulkarnaen adalah {bakso, jus terong belanda}.

e. Himpunan makanan kesukaan anak ketiga Pak Zulkarnaen adalah {mie goreng, jus sirsak}. Banyak anggota himpunannya adalah tiga.

Jika kalian perhatikan semua himpunan tersebut, banyak anggota himpunannya adalah 3.

2. Seluruh makanan yang dipesan keluarga Pak Zulkarnaen adalah ikan bakar, udang goreng, jus alpukat, ikan asam manis, bakso, jus terong belanda, ikan bakar, bakso, jus alpukat, bakso, jus terong belanda, mie goreng, jus sirsak.

3. Jika makanan yang sama dituliskan hanya satu kali, maka himpunan makanan yang dipesan keluarga Pak Zulkarnaen adalah {ikan bakar, udang goreng, jus alpukat, ikan asam manis, bakso, jus terong belanda, mie goreng, jus sirsak}. Banyak anggota himpunannya adalah 8. Berdasarkan keterangan di atas, bilangan 3 dan 8 menyatakan banyaknya anggota dari suatu himpunan.

1. Himpunan hingga adalah himpunan yang memiliki anggota hingga (finite set)
Contoh A ={1, 2, 3, 4}

2. Himpunan tak hingga adalah himpunan yang memiliki anggota tak hingga (infinite set).
Contoh B ={1, 2, 3, 4, ...}

3. Kardinalitas Himpunan hanya untuk himpunan yang hingga (finite set).

Himpunan Bagian

Dalam matematika, terutama teori himpunan, suatu himpunan A adalah himpunan bagian atau subset dari himpunan B bila A "termuat" di dalam B. A dan B boleh jadi merupakan himpunan yang sama. Hubungan suatu himpunan yang menjadi himpunan bagian yang lain disebut sebagai "termasuk ke dalam" atau kadang-kadang "pemuatan". Himpunan B adalah superhimpunan atau superset dari A karena semua elemen A juga adalah elemen B.

Untuk menemukan konsep himpunan bagian, mari kita amati masalah dan alternatif penyelesaian dibawah ini

Contoh :

Seluruh siswa kelas VIIA SMP Taman Siswa berjumlah 32 orang yang terdiri dari 15 siswa laki-laki dan 17 siswa perempuan. 10 siswa laki-laki gemar sepak bola, 5 siswa laki-laki gemar bola voli, 9 siswa perempuan gemar menari, dan 8 siswa perempuan gemar menyanyi. Tentukan semua himpunan bagian yang mungkin dari masalah tersebut dan gambarlah diagram Venn-nya.

Penyelesaian :

Jika S adalah himpunan semesta, A adalah himpunan siswa laki-laki, B adalah himpunan siswa perempuan, C adalah himpunan siswa laki-laki yang gemar sepak bola, D adalah himpunan siswa laki-laki yang gemar bola voli, E adalah himpunan siswa perempuan yang gemar menari, dan F adalah himpunan siswa perempuan yang gemar menyanyi, maka

Gambar diagram Venn untuk masalah tersebut adalah

Himpunan Kuasa

Himpunan Kuasa dari himpunan A adalah himpunan-himpunan bagian dari A, dilambangkan dengan P(A). Banyak anggota himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan n(P(A)).

Sobat Pintar, untuk lebih jelasnya mari kita simak contoh soal dibawah ini:

Contoh :

Banyak cara yang dilakukan SMP Al Amin dalam mengikuti olimpiade matematika tersebut adalah sebagai berikut.
• Cara pertama : Tidak mengirimkan siswa mengikuti olimpiade.
• Cara kedua : Hanya mengirimkan Ningsih mengikuti olimpiade.
• Cara ketiga : Hanya mengirimkan Taufan mengikuti olimpiade.
• Cara keempat : Mengirimkan Ningsih dan Taufan secara bersamasama mengikuti olimpiade.
Maka, ada 4 cara pengiriman yang dapat dilakukan SMP Al Amin untuk mengikuti olimpiade tingkat provinsi. Jika A adalah himpunan siswa SMP Al Amin yang akan mengikuti olimpiade matematika tingkat provinsi, maka A = {Ningsih, Taufan}. Misalkan himpunan siswa yang akan dikirim mengikuti olimpiade dari keempat cara pengiriman adalah himpunan B untuk cara I, himpunan C untuk cara II, himpunan D untuk cara III, dan himpunan E untuk cara IV, maka
• Cara pertama : Himpunan B = { }
• Cara kedua : Himpunan C = {Ningsih}
• Cara ketiga : Himpunan D = {Taufan}
• Cara keempat : Himpunan E = {Ningsih, Taufan}

Dengan demikian dapat dikatakan sebagai berikut.
• Himpunan B merupakan himpunan bagian dari A.
• Himpunan C merupakan himpunan bagian dari A.
• Himpunan D merupakan himpunan bagian dari A.
• Himpunan E merupakan himpunan bagian dari A.
• Berdasarkan uraian di atas, maka anggota-anggota himpunan bagian dari A adalah {{ }, {Ningsih}, {Taufan}, {Ningsih, Taufan}}.

Agar kalian lebih jelas tentang anggota-anggota himpunan bagian, coba perhatikan contoh berikut.

Kesamaan dua Himpunan

Kapan dua himpunan dikatakan sama? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, coba amati tabel berikut ini

Contoh :

Diketahui himpunan A = {h, a, r, u, m} dan B = {m, u, r, a, h}.

a. Selidiki apakah
b. Selidiki apakah
c. Perhatikan anggota himpunan A dan B, kesimpulan apa yang bisa kamu temukan?
d. Apakah A ekivalen B?

Penyelesaian :

Latihan 1

Tentukan banyaknya himpunan dari bagian P = { 1, 4, 5, 7, 3} !

A. 2

B. 5

C. 10

D. 32

Latihan 2

Tentukan himpunan bagian dari A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10} yang anggotanya adalah himpunan bilangan prima!

A. (1, 2, 3, 5}

B. {2, 3, 5, 7}

C. {2, 3, 5}

D. {2, 3, 5, 11}

Irisan (Intersection)

Irisan adalah dua himpunan yang bagian-bagiannya menjadi anggota dari keduanya. Gabungan adalah dua himpunan yang anggotanya hanya bilangan itu saja misalnya anggota bilangan A saja, anggota bilangan B saja dan anggota A, B keduanya.

Untuk lebih memahami apa itu irisan dan gabungan dari dua himpunan, coba amati hubungan dua himpunan dalam tabel berikut ini. Fokuskan pengamatan kalian pada irisan dari dua himpunan.

Tabel Irisan dan Gabungan dari Dua Himpunan

1. Misalkan S adalah himpunan semesta, irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota S yang merupakan anggota himpunan A dan anggota himpunan B, dilambangkan dengan Irisan dua himpunan dinotasikan

2. Misalkan S adalah himpunan semesta, gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota S yang merupakan anggota himpunan A atau anggota himpunan B, dilambangkan denganGabungan dua himpunan ditulis

Gabungan (Union)

Gabungan dalam teori himpunan merupakan operasi penggabungan dua himpunan, sehingga menghasilkan himpunan baru yang berisi anggota-anggota kedua himpunan awal. Operasi penggabungan himpunan (union dalam bahasa Inggris) dilambangkan dengan tanda .

Untuk lebih memahami tentang gabungan, mari Sobat Pintar simak contoh soal dibawah ini:

Contoh Soal :

Diketahui himpunan A = {1, 3, 5, 7) dan B = {5, 7, 8, 9, 10}.
a. Gambarlah diagram Venn dari kedua himpunan tersebut
b. Tentukan

Penyelesaian :

a. Kedua himpunan itu adalah:
A = {1, 3, 5, 7)
B = {5, 7, 8, 9, 10}
Diagram Venn dari kedua himpunan tersebut adalah

b. = {1, 3, 5, 7, 8, 9, 10}

Komplemen (Complement)

Gabungan, Irisan, dan Selisih adalah contoh dari operasi biner, yaitu operasi yang memerlukan dua unsur untuk dioperasikan. Selain operasi biner ada operasi uner yang hanya memerlukan satu unsur, yaitu operasi komplemen. Berbeda dengan operasi biner yang semestanya tidak perlu ditetapkan, maka operasi komplemen memerlukan ditetapkannya himpunan semesta. Tanpa himpunan semesta, operasi komplemen ini tidak bisa dilakukan. Sebenarnya operasi komplemen ini mirip dengan operasi selisih, hanya saja yang dicari adalah selisih dari semesta dari himpunan tertentu.

Misalkan S adalah himpunan semesta dan A adalah suatu himpunan.
1. Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan semua anggota himpunan S yang bukan anggota himpunan A, dinotasikan dengan Ac.
Notasi pembentuk himpunan

2. Selisih himpunan B terhadap himpunan A adalah himpunan semua anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B, dinotasikan dengan A - B.
Notasi pembentuk himpunan

Tabel Komplemen dan Selisih Himpunan

Selisih (Difference)

Selisih (difference) himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.

Sobat Pintar, untuk lebih memahami apa itu selisih, mari kita simak contoh soal dibawah ini

Contoh Soal :

Dalam suatu kelas terdapat 30 orang siswa yang senang dengan pelajaran matematika, 25 orang siswa senang dengan pelajaran fisika, dan 10 orang siswa senang pelajaran matematika dan fisika.
a. Gambarlah diagram Venn dari keterangan di atas.
b. Berapa orang siswa yang hanya senang pelajaran matematika?
c. Berapa orang siswa yang hanya senang pelajaran fisika?
d. Berapa banyak siswa dalam kelas itu?

Penyelesaian :

Pada masalah ini, tidak disajikan anggota-anggota setiap himpunan, cukup kita fokus pada banyak anggota setiap himpunan. Perlu kalian ketahui bahwa siswa yang senang dengan pelajaran matematika tidak menutup kemungkinan bahwa siswa tersebut juga senang dengan pelajaran fisika, sebaliknya juga demikian. Misalkan A adalah himpunan semua siswa yang senang belajar matematika, maka n(A) = 30. Misalkan B adalah himpunan semua siswa yang senang belajar fisika, maka n(B) = 25.

Misalkan M adalah himpunan semua siswa yang hanya senang belajar matematika. Misalkan F adalah himpunan semua siswa yang hanya senang belajar fisika. Misalkan S adalah himpunan semua siswa dalam satu kelas. AB adalah himpunan siswa senang pelajaran matematika dan fisika, maka n(AB) = 10.
a. Diagram Venn

b. Siswa yang hanya senang pelajaran matematika
Banyak siswa yang senang pelajaran matematika adalah banyak siswa yang hanya senang belajar matematika ditambah dengan banyak siswa yang senang belajar kedua-duanya.
n(A) = n(M) + n(A  B)
30     = n(M) + 10
n(M) = 30 - 10
          = 20
Maka banyak siswa yang hanya senang belajar matematika adalah 20 orang.
c. Siswa yang hanya senang pelajaran fisika.
Banyak siswa yang senang pelajaran fisika adalah banyak siswa yang hanya senang belajar fisika ditambah dengan banyak siswa yang senang belajar kedua-duanya.
n(B) = n(F) + n(A  B)
25     = n(F) + 10
n(F)  = 25 - 10 = 15
Maka banyak siswa yang hanya senang belajar matematika adalah 15 orang.

d. Banyak siswa dalam kelas
Banyak siswa dalam satu kelas yaitu banyak siswa yang hanya senang belajar matematika ditambah dengan banyak siswa yang hanya senang belajar fisika ditambah dengan banyak siswa yang senang belajar keduaduanya.
n(S) = n(M) + n(F) + n(A  B)
         = 20 + 15 + 10
         = 45
Jadi, banyak siswa kelas itu adalah 45 orang.
 

Sifat-sifat Operasi Himpunan

a. Sifat Idempoten

Sifat idempoten adalah sifat dalam pengoperasian dua buah objek yg hasilnya objek itu sendiri.

Untuk lebih memahami sifat idempoten Sobat Pintar dapat menyimak contoh soal dibawah ini

Contoh Soal :

Anto memiliki olahraga kesukaan yaitu: sepak bola, bola voli, dan catur. Misalkan himpunan semua olahraga kesukaan Anto adalah himpunan K.
1. Hal apa yang kalian temukan jika himpunan olahraga kesukaan Anto digabung dengan himpunan olahraga kesukaannya sendiri?
2. Hal apa yang kalian temukan jika himpunan olahraga kesukaan Anto diiriskan dengan himpunan olahraga kesukaannya sendiri?

Penyelesaian :

K = {sepak bola, bola voli, catur}
1. Jika K  K
Jika K digabung dengan K itu sendiri maka:
K = {sepak bola, bola voli, catur}  {sepak bola, bola voli, catur}
            = {sepak bola, bola voli, catur}
Ternyata: K  K = K
2. Jika K  K
Jika K diiriskan dengan K itu sendiri maka:
K = {sepak bola, bola voli, catur}  {sepak bola, bola voli, catur}
             = {sepak bola, bola voli, catur}
Ternyata: K  K = K
Berdasarkan keterangan di atas dapat disimpulkan bahwa

Untuk sebarang himpunan A berlaku
A = A
A = A

 

b. Sifat Identitas

Sifat identitas merupakan sifat operasi suatu bilangan yang hasilnya bilangan itu sendiri

Untuk lebih memahami sifat identitas Sobat Pintar dapat menyimak contoh soal dibawah ini

Contoh Soal :

Budi dan Badu adalah siswa kelas VII SMP. Budi senang dengan pelajaran matematika, bahasa Indonesia, dan kimia. Sedangkan Badu tidak senang dengan pelajaran apa pun.
1. Jika pelajaran yang disenangi Budi dan Badu merupakan himpunan, tentukanlah anggota kedua himpunan itu.
2. Jika pelajaran yang disenangi Budi digabung dengan pelajaran yang disenangi Badu, apa yang kalian simpulkan?
3. Pelajaran apa yang sama-sama disenangi Budi dan Badu?

 

Misal: A adalah himpunan semua pelajaran yang disenangi Budi.
B adalah himpunan semua pelajaran yang disenangi Badu.
1. Kedua himpunan tersebut adalah
A = {matematika, bahasa Indonesia, kimia}
B adalah himpunan pelajaran yang disenangi Badu
B = { }
2. Himpunan semua pelajaran yang disenangi Budi digabung dengan
himpunan semua pelajaran yang disenangi Badu, dilambangkan dengan A  B
B = {matematika, bahasa Indonesia, kimia}  { }
            = {matematika, bahasa Indonesia, kimia}
ternyata A  B = A
3. Himpunan semua pelajaran pelajaran yang sama-sama disenangi Budi
dan Badu, dilambangkan dengan A  B.
B = {matematika, bahasa Indonesia, kimia} { }
            = { }
Maka pelajaran yang sama-sama disenangi Budi dan Badu adalah tidak ada.
Berdasarkan penyelesaian masalah di atas, dapat disimpulkan bahwa
Untuk sebarang himpunan A, berlaku:
  = A
  =

 

c. Sifat Komutatif

Sifat komutatif pada operasi himpunan hanya berlaku pada operasi irisan dan gabungan, yaitu AB = BA danAB = BA

Amati diagram Venn I dan II berikut ini

Diagram Venn I dan II

Dari diagram Venn I dan II tersebut diperoleh hal berikut
Diagram Venn I:                                           Diagram Venn II:
A = {1, 3, 5}                                                      A = {p, q, r}
B = {5, 7, 9, 11}                                               B = {s}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}                             A  B = (p, q, r, s)
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}                             B  A = (p, q, r, s)
B = {5}                                                       A  B =
A = {5}                                                       B  A =
ternyata:                                                         ternyata:
B = B  A                                                 A  B = B  A
B = B  A                                                  A  B = B  A
Berdasarkan diagram Venn I dan II tersebut, maka dapat disimpulkan sebagai berikut
Misalkan A dan B adalah himpuan:
B = B  A
B = B  A

 

d. Sifat Asosiatif

Sifat asosiatif pada operasi himpunan hanya berlaku pada operasi irisan dan gabungan, yaitu (AB)C = A(BC) dan (AB)C = A(BC)

Perhatikan diagram Venn berikut.

Diagram Venn

Diperoleh:
P = {a, b, c, d, e}

Q = {d, e, f, g, h, i}

R = {c, e, i, j, k, l, m}

Q = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}

R = {c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m}

(P  Q)  R = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m}

(Q  R) = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m}

(P  Q)  R = {e}

(Q  R) = {e}

Ternyata

(P  Q)  R = P  (Q  R)

(P  Q)  R = P  (Q  R)

 

e. Sifat Distributif

Sifat distributif pada operasi himpunan hanya berlaku pada operasi irisan dan gabungan, yaitu A(BC) = (AB)(AC) dan A(BC)=(AB)(AC).

Dari diagram Venn diatas ditemukan juga :
(Q  R) = {a, b, c, d, e, i}
(P  Q) (P  R) = {a, b, c, d, e, i}
(Q  R) = {c, d, e}
(P  Q)  (P  R) = {c, d, e}
Ternyata:
(Q  R) = (P  Q)  (P  R)
(Q  R)= (P  Q)  (P  R)

Latihan

Diketahui himpunan A, B dan C masing-masing anggotanya sebagai berikut:
A = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12}
C = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Tentukanlah  !

A. { }

B. { 0 }

C. {2}

D. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}

Latihan

Diketahui :

P = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Q = {1, 3, 5, 7, 9}

P – Q = …

A. {1, 3, 5, 7, 9}

B. {4, 6, 8}

C. {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

D. {3, 4, 6, 9}

redesain-navbar Portlet