Matematika Minat

Perkalian Polinomial

Selain penjumlahan dan pengurangan, operasi perkalian juga bisa diterapkan pada polinomial.

Perkalian polinomial dapat dilakukan dengan menggunakan sifat distributif seperti pada aljabar. Agar lebih jelas sobat pintar bisa memperhatikan penjelasan berikut.

Secara umum, perkalian polinomial adalah sebagai berikut

(ax^m +bx^(m-1) + ...)g(x) = ax^mg(x) +bx^(m-1)g(x) + ...

Agar lebih jelas lagi kita lanjutkan ke contoh soal berikut
Diketahui polinomial:
f(x) = x² +x +1 
g(x) = 4x³ -x +1 
Tentukan f(x)·g(x)!

Pembahasan:
f(x)·g(x) = (x² +x +1)(4x³ -x +1)
f(x)·g(x) = x²(4x³ -x +1) +x(4x³ -x +1)+ 1(4x³ -x +1)
f(x)·g(x) = 4x⁵ -x³ +x² +4x⁴ -x² +x +4x³ -x +1  
f(x)·g(x) = 4x⁵ +4x⁴ +(-x³ +4x³) +(x² -x²) +(x-x) +1 
f(x)·g(x) = 4x⁵ +4x⁴ +3x³ +1 

Kesamaan Polinomial

Sobat pintar, yang akan dibahas kali ini adalah kesamaan polinomial sobat. 

Polinomial dikatakan sama jika kedua polinomial tersebut memiliki nilai yang sama untuk variabel x. 

Bingung? Sebenarnya mudah sobat, cukup perhatikan penjelasan berikut.

Misal:
f(x) = a_nxⁿ +a_(n-1)x^(n-1) +a_(n-2)x^(n-2) + ... +a₁x¹ +a₀ 
g(x) = b_nxⁿ +b_(n-1)x^(n-1) +b_(n-2)x^(n-2) + ... +b₁x¹+b₀ 
f(x) equivalen g(x), ditulis

jika dan hanya jika setiap koefisien dari variabel yang berpangkat sederajat adalah sama, seperti
a_n=b_n,   a_(n-1)=b_(n-1),   a_(n-2)=b_(n-2),   a₁=b₁,   a₀=b₀ 

Masih bingung sobat? Perhatikan lagi contoh soal berikut yaa.
Diketahui polinomial Ax² +Bx +C equivalen 7x² -3x +2. Tentukan nilai A,B, dan C!

Pembahasan:

maka setiap koefisien dari variabel yang berpangkat sederajat sama, artinya
Koefisien x²: A=7 
Koefisien x: B=-3 
Konstanta: C=2 
Jadi, A=7,  B=-3,  C=2

Nilai Polinomial

Nilai polinomial sebenarnya sudah tidak asing bagi sobat pintar semua karena nilai polinomial tidak berbeda dengan nilai fungsi. 

Ada dua cara untuk mendapatkan nilai polinomial, yang pertama adalah metode substitusi yang pasti sudah sering kalian lakukan dan yang kedua adalah skema horner.

Metode Substitusi

Misal polinomial f(x)=a_nxⁿ +a_(n-1)x^(n-1) +a_(n-2)x^(n-2) + ... +a₁x¹ +a₀
maka nilai polinomial untuk x=k adalah f(k)=a_nkⁿ +a_(n-1)k^(n-1) +a_(n-2)k^(n-2) + ... +a_1k¹ +a₀

Contohnya: 
Jika f(x)=2x² -x +5. Nilai f(x) untuk x=3 adalah ....

Pembahasan:
f(x)=2x² -x +5 
f(3)=2(3)² -3 +5 
f(3)=2(9) +2 
f(3)=18 +2 =20 

Skema Horner

Misal polinomial f(x)=a₃x³ +a₂x² +a₁x +a₀, akan ditentukan nilainya untuk x=k, maka bisa disusun seperti berikut

Contohnya: 
Jika f(x)=3x³ +2x² -x +4. Nilai f(x) untuk x=3 adalah ....

Pembahasan:

Jadi, nilai f(3)=100

1.

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Diketahui f(x) = x⁵ + x⁴ - 3x³ + 10x² + 8x + 1 dan g(x) = x⁵ + x⁴ - 2x² + 18x - 10. Nilai dari f(x)+g(x) adalah ....

A. 2x⁵ + 2x⁴ - 3x³ + 8x² + 16x - 9
B. 2x⁵ + x⁴ - x³ + 8x² + 16x - 9
C. x⁵ + 2x⁴ - 3x³ + 8x² + 16x - 19
D. 12x⁵ + 2x⁴ - 3x³ + 18x² + 16x - 9
E. 3x⁵ + 2x⁴ - 3x³ + 8x² + 16x - 8

2.

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Diberikan suku banyak f(x) = 5x³ - 3x² + 2x + 9 dan g(x) = -2x³ + 2x² - 3x + 1, suku berpangkat tertinggi dari f(x) - g(x) adalah....

A. 8x³
B. 7x³
C. 6x³
D. 5x³
E. 3x³

3.

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Koefisien x² dari perkalian dua polinomial berikut (x² - 3x + 5)(x - 7) adalah ....

A. 10
B. 8
C. -8
D. -9
E. -10

4.

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Nilai A·B yang memenuhi kesamaan Ax² +7x +5B equivalen 2x² +7x -15 adalah ....

A. -7
B. -6
C. 0
D. 6
E. 7

5.

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2

6.

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Salah satu metode yang digunakan untuk menentukan nilai polinomial adalah ....

A. metode Horner
B. metode eliminasi
C. metode pemfaktoran
D. teorema Pythagoras
E. metode campuran

7.

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Diketahui f(x) = x³ – 3x² + 7. Jika x = 5, maka nilai dari f(5) adalah ....

A. 43
B. 50
C. 57
D. 64
E. 75

8.

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Diketahui f(h) = h³ – 2h² – 3h + 5. Jika h = 2, maka nilai dari f(h) adalah ....

A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2