APSiswaNavbarV2

redesain-navbar Portlet

BelajarPintarV3

Matematika Minat

Polinomial

Daftar Materi

MATERI

Pembagian Polinomial

Sobat pintar pasti sudah biasa untuk membagi bilangan dengan cara diatas, nah sekarang bagimana yaa kalau pembagiannya bukan sekedar bilangan, melainkan polinomial. 

Ada dua cara untuk menyelesaikan pembagian polinomial sobat, pertama dengan cara diatas atau biasa disebut cara bersusun dan yang kedua dengan cara horner. 

Sebelum membagi polinomial mari kita ulas kembali pembagian. Pembagian secara umum dapat ditulis:

Bilangan yang dibagi = (pembagi × hasil bagi) + sisa

Pada polinomial juga berlaku hal yang sama, misal polinomial f(x) dibagi oleh p(x) menghasilkan h(x) dan sisanya s(x), maka dapat ditulis:

f(x)=p(x)·h(x) +s(x) 

 

Pembagian polinomial oleh bentuk linear (mx+n)

Misal polinomial f(x) dibagi (mx+n) maka dapat ditulis

Agar sobat pintar tidak bingung dengan penjelasan barusan, sobat pintar perhatikan contoh soal berikut.

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari (3x4 –5x3 +7x2 +5x +2) : (3x+1)

Cara bersusun

Cara Horner


 

Pembagian polinomial oleh bentuk kuadrat (ax2+bx+c) dengan a bukan nol

Pada pembagian ini cara horner hanya bisa dipakai jika pembaginya bisa difaktorkan. Misal polinomial f(x) dibagi (ax2+bx+c) dengan a bukan 0, maka langkah penyelesaian cara horner adalah

Untuk mempermudah sobat pintar dalam memahami penjelasan diatas sobat pintar bisa menyimak contoh soal berikut.

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari polinomial f(x)=x4 –3x2 +2x –1 oleh x2 –x –2

Cara bersusun

Cara Horner

Pembagi x2 –x –2 difaktorkan menjadi (x–2)(x+1), artinya k1=2, k2=–1, dan a=1

Teorema Sisa

Teorema sisa untuk pembagi bentuk linear (mx+n)

Agar pemahaman sobat lebih mantap, kita coba pada contoh soal berikut

Sisa pembagian jika polinomial f(x)=2x3 –x2 +x –2 dibagi oleh 2x–1 adalah ....

Pembahasan:

 

Teorema sisa untuk pembagi bentuk (x–a)(x–b)

Sisa pembagian polinomial f(x) oleh (x–a)(x–b) adalah s(x)=px+q, dengan f(a)=ap+q dan f(b)=bp+q

Bukti:

Derajat (x–a)(x–b) adalah 2, maka sisa pembagiannya haruslah berderajat 1, yaitu s(x)=px+q sehingga diperoleh:
f(x)=(x–a)(x–b)h(x) +s(x) 
f(x)=(x–a)(x–b)h(x) +px +q 

Untuk x=a, maka
f(a)=(a–a)(a–b)h(x) +pa+q 
f(a)=(0)(x–b)h(x) +ap+q 
f(a)=ap+q 

Untuk x=b, maka
f(b)=(b–a)(b–b)h(x) +pb+q 
f(b)=(b–a)(0)h(x) +bp+q 
f(b)=bp+q 

Terbukti, sisa=s(x)=px+q dengan f(a)=ap+q dan f(b)=bp+q

Agar sobat pintar tidak bingung kita coba contoh soal berikut yuk

Polinomial f(x) jika dibagi (x+2) sisanya 12 dan jika dibagi (x–3) sisanya –3. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh (x+2)(x–3)!

Pembahasan:

Misal sisa pembagian dari f(x) dibagi oleh (x+2)(x–3) adalah s(x)=px+q, maka sesuai teorema
f(–2)=–2p+q 
f(3)=3p+q 

Namun pada soal diketahui jika f(x) dibagi (x+2) sisanya 12 dan jika f(x) dibagi (x–3) sisanya –3 maka
f(–2)=–2p+q=12 
f(3)=3p+q=–3 

Kita eliminasi
–2p+q=12 
3p+q=–3 
–5p=15 
p=–3 

Substitusi nilai p ke salah satu persamaan
3(–3)+q=–3 
–9+q=–3 
q=6 

s(x)=–3x+6 

Jadi, sisa pembagian dari f(x) dibagi (x+2)(x–3) adalah –3x+6

Teorema Faktor

Sobat pintar pasti sudah mengetahui apa itu faktor, contohnya faktor dari 12 ada 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. 

Bilangan-bilangan ini berarti jika 12 dibagi dengan salah satu bilangan tersebut maka sisa pembagiannya akan sama dengan nol. Dari sini bisa didapatkan teorema faktor sebagai berikut.

Suatu polinomial f(x) memiliki faktor (mx+n) jika dan hanya jika f(–n/m)=0

Bukti:

Untuk memperdalam pemahaman tentang teorema faktor, sobat pintar sebaiknya simak contoh soal berikut.
Tentukan nilai p sehingga f(x)=x3 –x2 +px –15 memiliki faktor (x–3).

Pembahasan:

Karena (x–3) merupakan faktor dari f(x), maka sesuai dengan teorema faktor f(3)=0, sehingga:
f(3)=0 
33 –32 +p(3) –15=0 
27 –9 +3p –15=0 
3p –3=0 
3p=–3 
p=–1 

Jadi, nilai p yang sesuai adalah –1

1.

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Hasil pembagian P(x) = x4 - 3x2 - 1) oleh (x - 3) adalah ....


A. x3 + 3x2 - 4x + 10
B. x3 + 3x2 - 16x + 18
C. 2x3 + 3x2 - 6x + 18
D. x3 + 3x2 + 6x + 18
E. 2x3 + 3x2 - 6x + 8

JAWABAN BENAR

D.

x3 + 3x2 + 6x + 18

PEMBAHASAN


Hasil pembagian : x3 + 3x2 + 6x + 18

2.

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Suku banyak x3 - 2x + 3 dibagi oleh x + 4, sisanya adalah ....


A. -59
B. -53
C. 50
D. 53
E. 59

JAWABAN BENAR

B.

-53

PEMBAHASAN

 

3.

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Hasil bagi polinomial 8x4+4x3+2x2-9x-6 oleh (2x2-3x+5) adalah ....


A. 4x2+16x-6
B. 4x2+8x+3
C. 4x2+8x-3
D. 4x2-8x+3
E. 4x2-8x-3

JAWABAN BENAR

B.

4x2+8x+3

PEMBAHASAN

Karena 2x2-3x+5 tidak bisa difaktorkan, maka pembagian dilakukan dengan cara bersusun

4.

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Hasil bagi dan sisa pembagian jika polinomial f(x)=x4–3x3–5x2+x–6 dibagi oleh x2–x–2 berturut–turut adalah ....


A. x2+2x+5 dan -8x-16
B. x2-2x+5 dan 8x+16
C. x2-2x-5 dan -8x+16
D. x2+2x+5 dan -8x+16
E. x2-2x-5 dan -8x-16

JAWABAN BENAR

E.

x2-2x-5 dan -8x-16

PEMBAHASAN

5.

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Jika suku banyak f(x) = x4 + 3x3 - 5x + 6 dibagi oleh (x - 2) maka sisanya adalah ....


A. 15
B. 30
C. 36
D. 40
E. 44

JAWABAN BENAR

C.

36

PEMBAHASAN

Sesuai teorema sisa maka sisa =f(2)
s=f(2)=24+3(2)3–5(2)+6 
s=16+3(8)–10+6 
s=16+24–4 
s=36 

6.

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Jika suku banyak f(x) = x4 + 3x3 + x2 - (p+1)x + 1 dibagi oleh (x - 2) sisanya adalah 35. Nilai p adalah ....


A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
E. 10

JAWABAN BENAR

C.

4

PEMBAHASAN

 

7.

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Suatu suku banyak f(x) dibagi (x+2) sisanya -1 dan jika dibagi (x-1) sisanya 2, maka f(x) jika dibagi (x2+x-2) adalah ....


A. x–1
B. x+1
C. x+2
D. x+3
E. x+6

JAWABAN BENAR

B.

x+1

PEMBAHASAN

 

8.

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Suku banyak f(x) = 3x3 - 13x2 + 8x + 12 dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian faktor-faktor linearnya menjadi ....


A. f(x)=(x-2)(3x+2)(x-3)
B. f(x)=(x-2)(3x-2)(x-3)
C.

f(x)=(x-2)(3x-2)(x+3)
D. f(x)=(x+2)(3x+2)(x-3)
E. f(x)=(x+2)(3x+2)(x+3)

JAWABAN BENAR

A.

f(x)=(x-2)(3x+2)(x-3)

PEMBAHASAN

Langkah 1, selidiki f(1)=3(1)3–13(1)2+8(1)+12
f(1)=3–13+8+12=10, hasilnya tidak sama dengan nol, maka x–1 bukan faktor

Langkah 2, selidikit f(–1)=3(–1)3–13(–1)2+8(–1)+12
f(–1)=–3–13–8+12=–24, hasilnya tidak sama dengan nol, maka x+1 bukan faktor

Langkah 3, perhatikan faktor |12|, faktornya ±1,±2,±3,±4,±6,±12
f(–2)=3(–2)3–13(–2)2+8(–2)+12 
f(–2)=3(–8)–13(4)–16+12 
f(–2)=–80, tidak sama dengan nol, maka x+2 bukan faktor

f(2)=3(2)3–13(2)2+8(2)+12 
f(2)=3(8)–13(4)+16+12 
f(2)=0, f(2) sama dengan nol, maka x–2 merupakan faktor

Hasil bagi =3x2–7x–6, faktorkan untuk mencari faktor lainnya
3x2–7x–6=(3x+2)(x–3) 

Jadi, f(x)=(x–2)(3x+2)(x–3)

9.

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Salah satu faktor dari (2x3 + px2 - 10x - 24) adalah (x+4). Faktor-faktor lainnya adalah ....


A. (2x+3)(x+2)
B. (2x-3)(x-2)
C. (2x+3)(x-2)
D. (x+3)(x-2)
E. (x+2)(3x-2)

JAWABAN BENAR

C.

(2x+3)(x-2)

PEMBAHASAN

 

redesain-navbar Portlet