Matematika Minat

Akar-Akar Rasional

Sepanjang pembahasan polinomial kita selalu menuliskan polinomial dalam bentuk f(x), kali ini kita akan menuliskannya dalam bentuk persamaan, tahukah sobat pintar bagaimana bentuk dari persamaan polinomial?

Bentuk umum persamaan polinomial dengan variabel x dapat dituliskan sebagai berikut.

a_nxⁿ+a_(n–1)x^(n–1)+a_(n–2)x^(n–2)+ ... +a₂x²+a₁x+a₀=0 

Dengan a_n tidak 0 dan n bilangan asli

Sama halnya seperti persamaan kuadrat, persamaan polinomial juga memiliki akar-akar persamaan rasional. Untuk persamaan polinomial berderajat dua akar–akar persamaannya bisa dicari dengan cara yang sama dengan mencari akar-akar persamaan kuadrat. Namun, untuk mencari akar-akar rasional dari persamaan polinomial berderajat lebih dari dua harus melewati langkah-langkah berikut:

Untuk memahami diagram diatas sebaiknya kita langsung mencoba ke contoh soal

Temukan seluruh akar-akar rasional dari persamaan polinomial x⁴–15x²–10x+24=0

Langkah 1: Selidiki f(1)=1⁴–15(1)³–10(1)+24=1–15–10+24=0, artinya x=1 merupakan akar persamaan,

Untuk mencari akar yang lain, kita bisa gunakan cara horner berikut untuk mendapatkan hasil bagi

Hasil bagi pembagian diatas adalah h(x)=x³+x²–14x–24

Langkah 1 pada hasil bagi h(x): Selidiki h(1)=1³+1²–14(1)–24=1+1–14–24=–36, artinya x=1 bukan merupakan akar persamaan

Langkah 2 pada hasil bagi h(x): Selidiki h(–1)=(–1)³+(–1)²–14(–1)–24=–1+1+14–24=–10, artinya x=–1 bukan merupakan akar persamaan

Langkah 3 pada hasil bagi h(x): nilai mutlak a₀=|a₀|=|–24|=24. Faktor dari 24 adalah ±1,±2,±3,±4,±6,±8,±12, dan ±24. Karena x=±1 bukan merupakan akar, maka x=±1 tidak perlu dicoba lagi

Karena sisa =0 maka x=–2 merupakan akar dari h(x)=0 dengan hasil bagi x²–x–12,

Untuk mencari akar yang lain, kita bisa memfaktorkan x²–x–12=0 sebagai berikut
x²–x–12=0 
(x–4)(x+3)=0 
x=4 atau x=–3

Jadi, akar–akar rasional dari persamaan x⁴–15x²–10x+24=0 adalah –3,–2,1, dan 4