Matematika Wajib

Determinan Matriks

Apakah Sobat Pintar pernah mendengar istilah determinan dan invers sebelumnya? Kalau belum, berarti inilah saat yang tepat untuk mengetahui apa itu determinan dan invers matriks.

Determinan suatu matriks didefinisikan sebagai selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. Determinan matriks hanya dapat ditentukan pada matriks persegi. Determinan dari matriks A dapat dituliskan det(A) atau |A|.

Berikut ini sifat-sifat dari determinan matriks:

1. Nilai determinan matriks tidak berubah apabila baris dan kolomnya saling ditukar.
2. Jika semua elemen pada salah satu baris atau kolom sebuah matriks adalah nol, maka determinannya sama dengan nol.
3. Jika dua baris atau dua kolom dari sebuah matriks ditukar, maka tanda determinannya akan berubah.
4. Jika dua baris atau dua kolom dari sebuah matriks elemennya sama atau merupakan kelipatannya, maka determinannya sama dengan nol.
5. Jika setiap elemen pada baris atau kolom dikali oleh bilangan real k, maka determinannya bernilai k kali determinan matriks awal.
6. Jika masing-masing elemen pada baris atau kolom dinyatakan sebagai jumlah dua suku, maka determinan matriks tersebut merupakan jumlah kedua determinan.
7. Nilai sebuah determinan tidak berubah apabila masing-masing elemen pada baris atau kolom dikali dengan bilangan real k dan ditambahkan pada sebarang baris atau kolom.

Determinan Matriks Ordo 2x2

Determinan matriks persegi dengan ordo 2x2 dapat dihitung dengan cara berikut:

Determinan Matriks Ordo 3x3

Diketahui matriks A dengan ordo 3x3 sebagai berikut:

Determinan matriks persegi dengan ordo 3x3 dapat dicari dengan menggunakan 2 cara, yaitu:

Kaidah Sarrus

Langkah-langkah mencari determinan matriks ordo 3x3 dengan kaidah Sarrus:

1. Meletakkan kolom pertama dan kolom kedua di sebelah kanan garis vertikal determinan
2. Jumlahkan hasil kali elemen-elemen yang terletak pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen yang sejajar diagonal utama pada arah kanan kemudian kurangi dengan jumlah hasil kali elemen-elemen yang terletak pada diagonal samping dengan elemen-elemen yang sejajar dengan diagonal samping

|A| = (a.e.i) + (b.f.g) +( c.d.h) – (c.e.g) – (a.f.h) – (b.d.i)

|A| = (a.e.i + b.f.g + c.d.h) – (c.e.g + a.f.h + b.d.i)

Ekspansi Kofaktor dan Minor

Apabila diketahui sebuah matriks persegi A maka minor elemen a_ij dinyatakan oleh M_ij dan didefinisikan sebagai determinan submatriks yang tinggal setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari matriks A

dapat dicari dengan menghilangkan baris kedua dan kolom ketiga sehingga diperoleh:

dan nilai determinannya adalah

Sedangkan kofaktor dari sebuah elemen adalah nilai minor beserta tandanya. Tanda dari determinan ditentukan dengan memberikan tanda positif (+) pada elemen baris pertama kolom pertama diikuti perubahan tanda ke bawah (vertikal) dan ke kanan (horizontal).

Contoh :

Menggunakan ekspansi kofaktor pada kolom ke 2 diperoleh: