APSiswaNavbarV2

redesain-navbar Portlet

BelajarPintarV3

Matematika Wajib

Induksi Matematika

Daftar Materi

MATERI

Induksi Matematika

Setelah kita mempelajari mengenai notasi sigma, selanjutnya kita akan belajar tentang induksi matematika. 

Apakah Sobat Pintar tahu apa itu induksi matematika? Kalau belum tahu, yuk kita belajar bersama!

Induksi matematika merupakan suatu cara pembuktian untuk membuktikan rumus yang memuat variabel dan berlaku untuk setiap bilangan asli. Misalkan P(n) adalah suatu fungsi dalam bilangan bulat positif yang akan dibuktikan kebenarannya untuk setiap n bilangan asli.

Untuk membuktikan fungsi tersebut, kita perlu menunjukkan bahwa :

  • P(1) benar (basis Induksi)
  • Jika P(n) benar, maka P(n+1) juga benar untuk setiap n bilangan asli, sehingga P(n) bernilai benar ( langkah Induksi)

Implikasi P(n) –> P(n+1) benar untuk setiap bilangan bulat positif dapat ditunjukkan dengan memperlihatkan bahwa berdasarkan hipotesis P(n) benar maka P(n+1) juga harus benar. Langkah pembuktian P(n+1) bernilai benar disebut hipotesis induksi. Secara umum, langkah-langkah dalam induksi matematika dapat dijelaskan sebagai berikut

  1. Dibuktikan bahwa P(n) benar untuk n=1
  2. Diasumsikan bahwa P(n) benar untuk n=k
  3. Akan dibuktikan bahwa P(n) untuk n=k+1

Jika setiap langkah sudah dilakukan dan diuji kebenarannya, maka dapat ditarik kesimpulan bahwa P(n) berlaku untuk setiap n bilangan asli. Prinsip dari induksi matematika dapat diperluas, misalkan P(n) suatu pernyataan yang mana kebenarannya ditentukan oleh nilai n.

Jika P(n) memenuhi dua sifat berikut

  • P(n) benar untuk n=m
  • untuk setiap bilangan asli k lebih dari sama dengan m, jika P(k) bernilai benar, maka P(k+1) juga bernilai benar, sehingga P(n) bernilai benar untuk semua bilangan asli yang lebih atau sama dengan m

Bentuk-Bentuk Penerapan Induksi Matematika


 

Induksi matematika dapat diterapkan tidak hanya pada deret bilangan lho, Sobat Pintar! Induksi matematika juga dapat diterapkan pada pernyataan dengan beberapa bentuk sebagai berikut

PENERAPAN INDUKSI MATEMATIKA PADA DERET BILANGAN

Deret bilangan terdiri atas deret bilangan ganjil, deret bilangan genap, deret bilangan asli, deret kuadrat bilangan asli dan sebagainya. Perumusan deret-deret tersebut secara tidak langsung dapat dibuktikan dengan prinsip induksi matematika.

Berikut contoh pembuktian deret bilangan dengan induksi matematika

Buktikan bahwa 2+4+6+ ... + 2n = n(n+1)!

Untuk n=1, maka

2. 2= 1(1+1)

2  = 1.2

2 = 2        Terbukti Benar

Andaikan n=k benar, maka

2+4+6+...+ 2k = k(k+1)

Akan di buktikan n=k+1 benar

2+4+6+...+2(k+1) = (k+1)(k+1+1)

2+4+6+...+2k+2(k+1) = (k+1)(k+1+1)

k(k+1)+2(k+1) = (k+1)(k+1+1)

k2+k+2k+1 = (k+1)(k+2)

k2+3k+1 = (k+1)(k+2)

(k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)

Karena (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2), maka pernyataan 2+4+6+ ... + 2n = n(n+1) Benar
 

PENERAPAN INDUKSI MATEMATIKA PADA KETERBAGIAN

Pernyataan matematis berupa keterbagian dapat dibuktikan dengan prinsip induksi matematika.

Pernyataan “a habis dibagi b” yang bersinonim dengan a kelipatan b, b faktor dari a, dan b membagi a.

Apabila p habis dibagi a serta q habis dibagi a, maka (p + q) juga akan habis dibagi a. Misalnya, 4 habis dibagi 2 dan 6 habis dibagi 2, maka (4 + 6) juga akan habis dibagi 2.

Berikut ini contoh keterbagian yang dibuktikan dengan induksi matematika.

Dengan induksi matematika, tunjukkan bahwa 11n – 6 habis dibagi 5 !

Untuk n=1, maka

111 – 6 = 11 – 6 = 5 = 5.(1) benar

Andaikan n=k benar, maka

11k – 6 = 5m
11k = 5m + 6

Akan di buktikan n=k+1 benar

11k+1 – 6 = 11k. 211 – 6 

= (5m+6).11 – 6  

= 55m +66 – 6 

= 55m +60

= 5(11m + 12) benar

Jadi pernyataan 11n – 6 habis dibagi 5 adalah benar

PENERAPAN INDUKSI MATEMATIKA PADA KETIDAKSAMAAN

Berikut merupakan beberapa sifat pertidaksamaan yang sering dipakai, antara lain:

  • Sifat Transitif : a > b > c maka a > c  atau a < b < c maka a < c
  • a < b dan c > 0 maka ac < bc  atau  a > b dan c > 0 maka ac > bc
  • a < b maka a + c < b + c  atau a > b maka a + c > b + c

Penerapan induksi matematika pada ketidaksamaan dapat dijelaskan pada contoh berikut

1.

Jawablah soal berikut!

Diketahui deret bilangan genap 2+4+6+8+...+2n. Dengan induksi matematika, formula yang tepat pada deret tersebut adalah ....


A.
B.
C.
D.
E.

JAWABAN BENAR

B.

PEMBAHASAN

 

2.

Jawablah soal berikut dengan tepat!

Dengan induksi matematika, rumus penjumlahan dari deret bilangan asli adalah ....


A. n
B. n+1
C. n(n+1)
D. ½ n(n+1)
E. n(n+1)(n+2)

JAWABAN BENAR

D.

½ n(n+1)

PEMBAHASAN

3.

Jawablah soal berikut!

Dengan induksi matematika, 4n-1 merupakan kelipatan dari ....


A. 13
B. 11
C. 7
D. 5
E. 3

JAWABAN BENAR

E.

3

PEMBAHASAN

4.

Jawablah soal berikut dengan tepat!

Dengan induksi matematika untuk S(k+1), formula dari deret bilangan ganjil pertama 1+3+5+...+(2n-1)= n2 adalah ....


A. k+1
B. (k+1)(k+1)
C. k+2
D. (k+1)(k+2)
E. k(k+1)(k+2)

JAWABAN BENAR

B.

(k+1)(k+1)

PEMBAHASAN

5.

Jawablah soal di bawah ini dengan benar!


A.
B.
C.
D.
E.

JAWABAN BENAR

A.

PEMBAHASAN

 

6.

Jawablah soal di bawah ini dengan benar!


 


A. 3
B. 5
C. 8
D. 12
E. 15

JAWABAN BENAR

B.

5

PEMBAHASAN


 

7.

Jawablah soal di bawah ini dengan benar!


 


A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4

JAWABAN BENAR

B.

1

PEMBAHASAN



 

redesain-navbar Portlet