UTBK - SNBT

Jarak

 

^{Sumber : Wikipedia.org}

Pernahkah kalian berpikir berapa jarak antara planet yang satu dengan yang lainnya? Kalau kita anggap planet-planet ini sebagai titik, berapa jarak antar titik-titik tersebut?

Nah Sobat Pintar, setelah kita mempelajari tentang kedudukan titik, garis, dan bidang, kita akan mempelajari tentang jarak titik, garis, dan bidang.

Terlebih dahulu kita akan mempelajari jarak antar dua titik. Jarak titik A ke titik B sama dengan panjang ruas garis AB, yang ditentukan dengan teorema Pythagoras, yaitu:

Selanjutnya adalah jarak titik ke garis. Jarak titik ke garis ini terbagi menjadi 2 yaitu:

Titik dan Garis Terletak pada Satu Bidang

Titik A dan garis g terletak pada bidang a. Untuk menentukan jarak titik A ke garis g yaitu:

1. Buatlah garis h yang melalui titik A dan memotong tegak lurus garis g di B
2. Titik B adalah proyek titik A pada garis g. AB adalah jarak antara titik A dan garis g.

Titik dan Garis Tidak Terletak pada Satu Bidang

Garis g terletak pada bidang a. Untuk menentukan jarak antara titik A dan garis g, yaitu :

1. Buatlah garis AB yang tegak lurus bidang a.
2. Buatlah garis BC yang tegak lurus garis g.
3. AC adalah jarak antara titik A dan garis g.

Terakhir yaitu jarak antar titik ke bidang. Titik A terletak di luar bidang a. Untuk menentukan jarak antara titik A dan bidang a adalah sebagai berikut.

1. Buatlah garis g yang melalui titik A dan tegak lurus bidang a.
2. Jika garis g menembus bidang di B, maka AB adalah jarak antara titik A dan bidang a.

 

Sudut

Secara matematis, hubungan sinar garis dan titik sudut diilustrasikan sebagai berikut.

 

 

 

 

 

 

 

 

Gambar Sudut yang terbentuk oleh dua sinar garis

Suatu sudut terbentuk dari perpotongan dua sinar garis yang berpotongan tepat di satu titik, sehingga titik potongnya disebut dengan titik sudut.
Nama suatu sudut dapat berupa simbol alfa, beta, dll, atau berdasarkan titik titik yang melalui garis yang berpotongan tersebut. Biasanya, satuan sudut dinyatakan dalam dua jenis, yaitu derajat (^o) dan radian (rad). Sudut APB bisa juga disebut  Sudut P, dan besar sudut P dilambangkan dengan m sudut P.

Keterangan: Besar sudut satu putaran penuh adalah 360^o

PENAMAAN SUDUT

Secara matematis, penamaan sudut diperlukan untuk mempermudah penamaan sudut untuk kajian selanjutnya. Mari kita perhatikan Gambar berikut ini.

 

 

 

 

Gambar Penamaan Sudut ABC atau Sudut CBA

Dari Gambar tersebut BA dan BC disebut kaki sudut. Titik B adalah titik sudut. Secara umum, ada dua penamaan sudut, yaitu:

• Titik B dapat dikatakan sebagai titik sudut B seperti pada Gambar di atas. Ingat, penulisannya selalu menggunakan huruf kapital.
• Sudut yang terbentuk pada gambar di samping dapat juga disimbolkan dengan sudut ABC atau sudut CBA atau sudut B.

Pada setiap sudut yang terbentuk, harus kita tahu berapa besar derajat sudutnya. Secara manual, kita dapat menggunakan alat ukur sudut yaitu busur. Alat ini dapat membantu kita mengukur suatu sudut yang sudah terbentuk dan membentuk besar sudut yang akan digambar.
 

 

 

 

 

 

 

 

Gambar Busur, alat untuk mengukur sudut

Perlu kita kenalkan bahwa, terdapat ukuran sudut standar yang perlu kita ketahui, seperti yang disajikan pada gambar di bawah ini

 

 

 

 

 

 

 

Gambar Sudut lancip, tumpul, siku-siku, dan sudut lurus

Jenis-Jenis Sudut

1. Sudut Siku-Siku: ukuran sudutnya 90^o
2. Sudut Lancip: ukuran sudutnya antara 0^o dan 90^o
3. Sudut Tumpul: ukuran sudutnya antara 90^o dan 180^o
4. Sudut Lurus: ukuran sudutnya 180^o
5. Sudut Reflek: ukuran sudutnya antara 180^o dan 360^o

JENIS-JENIS SUDUT

1. Sudut berpelurus

Sudut berpelurus adalah sudut yang apabila dijumlahkan keduanya bernilai 180^o.

Berpelurus diambil dari kata dasar lurus  yang dibentuk oleh sebuah garis lurus adalah 180^o. Dua sudut yang disebut saling berpelurus adalah apabila jumlah besar kedua sudut tersebut adalah 180^o. Sudut yang satu disebut pelurus dari sudut yang lain.

Dengan demikian misalkan Sudut ABD dan Sudut CBD saling berpelurus, maka Sudut ABD + Sudut  CBD = 180^o. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar dibawah ini

 

 

 

2. Sudut berpenyiku

Sudut berpenyiku adalah sudut yang apabila dijumlahkan keduanya bernilai 90^o.

Sesuai dengan judul berpenyiku dengan kata dasar siku atau siku-siku maka besar sudutnya adalah 90^o. Apabila dua sudut yang letaknya saling bersebelahan membentuk sudut siku-siku atau jumlah besar sudutnya 90^o maka sudut-sudut tersebut dapat dikatakan saling berpenyiku atau disebut juga komplemen. Sudut yang satu disebut penyiku dari sudut yang lain.

Dengan demikian misalkan Sudut ADB dan Sudut BDC saling berpenyiku, maka Sudut ADB + Sudut BDC merupakan penyiku dari Sudut ABC. Perhatikan gambar dibawah ini!

 

 

 

 

Sudut yang saling bertolak belakang merupakan sudut yang posisinya saling bertolak belakang atau sudut yang membelakangi dan tentunya sama besar. Perhatikan gambar dibawah ini.

 

 

 

 

 

 

Sudut A = Sudut C (bertolak belakang)
Sudut B = Sudut D (bertolak belakang)
Sudut E = Sudut G (bertolak belakang)
Sudut F = Sudut H (bertolak belakang)

 

 

 

 

 

 

 

 

Gambar Sudut berpelurus dan bertolak belakang

1. Pada gambar (a) dan (b) termasuk sudut berpelurus, yaitu m Sudut T1 + m Sudut T2 = 180^o dan m Sudut T3 + m Sudut  T4 = 180^o
2. Pada gambar (c) dan (d) juga termasuk sudut berpelurus yaitu mT1 Sudut  + m Sudut T4 = 180^o dan m Sudut T2 + m Sudut T3 = 180^o
3. Pada gambar (e) dan (f) termasuk sudut sudut bertolak belakang, m Sudut T1 = m Sudut T3 dan m Sudut T2 = m Sudut T4
    

Perhatikan contoh soal dibawah ini

Contoh Soal :

Perhatikan gambar berikut. Tentukan nilai a^o dan b^o

 

 

 

 

 

Gambar Pasangan sudut-sudut bertolak belakang

Penyelesaian :

Untuk menyelesaikan soal ini, kita harus memahami sudut pelurus dan memahami pasangan sudut yang saling bertolak belakang. Pasangan-pasangan sudut bertolak belakang dari Gambar sebagai berikut.

- a + 60 sama dengan 180  (sudut pelurus)
   a + 60 = 180
  a = 180 – 60
  a = 120^o

- 60 sama besar dengan b   (bertolak belakang)
  60 = b
  b = 60^o

- a sama besar dengan c   (bertolak belakang)
  a = c
 120 = c   (sudah ditemukan a =120^o)
  c = 120^o
 Jadi nilai a = 120^o, b = 60^odan c = 120^o

HUBUNGAN SUDUT DENGAN GARIS

Coba perhatikan Gambar berikut, yakni gambar lintasan kereta api dan modelnya.

 

 

 

 

 

 

 

Dua garis berwarna hijau, merupakan dua segmen garis sejajar, kita sebut garis k dan garis l, dipotong oleh garis garis m pada Gambar diatas sehingga membentuk delapan sudut.

Kedelapan sudut dapat digambarkan seperti gambar berikut.

 

 

 

 

 

 

Gambar Garis k dan l merupakan dua garis sejajar dipotongan oleh satu garis m

Perhatikan contoh soal dibawah ini

Contoh Soal :

Perhatikan gambar dibawah ini. Tentukan nilai x-nya

Penyelesaian :

Coba ingat kembali tentang materi sudut yang saling bertolak belakang pada bagian Masalah di atas, yakni sebagai berikut

Karena garis k//l, akibatnya besar sudut 3x dengan besar sudut 60^o membetuk sudut berpelurus

3x + 60 = 180 berpelurus
         3x = 180 - 60
         3x = 120
           x = 40
Jadi nilai x = 40^o

Bangun Datar

Bangun Datar merupakan objek geometri dua dimensi (2D) yang dibatasi oleh garis-garis lurus atau lengkung, dan hanya memiliki ukuran panjang dan lebar. Bangun datar tidak memiliki tinggi dan tebal, sehingga hanya memiliki luas dan keliling.

Bangun datar memiliki ciri-ciri umum, yaitu: Terbentuk dari garis-garis yang saling berhubungan, Memiliki luas dan keliling, Tidak memiliki ketebalan atau ketinggian.

Contoh bangun datar, yaitu : segitiga, persegi, persegi panjang, trapesium, belah ketupat, layang-layang, jajargenjang, dan lingkaran

Berikut ini rumus keliling dan luas bangun datar

 

Bangun Ruang

Bangun Ruang terbagi menjadi 2 jenis, yaitu bangun ruang sisi datar (kubus, balok, limas, dan prisma) serta bangun ruang sisi lengkung (tabung, kerucut, bola)

BANGUN RUANG SISI DATAR

Kubus

kubus adalah bangun ruang yang dibatasi oleh 6 buah sisi yang berbentuk persegi (bujur sangkar). Beberapa orang sering menyebut bangun ini sebagai bidang enam beraturan dan juga prisma segiempat dengan tinggi sama dengan sisi alas.

Rumus-rumus Kubus

Volume = s x s x s = s³

Luas Permukaan = 6 x s x s = 6 s²

Balok

Balok adalah bangun ruang yang memiliki tiga pasang sisi segi empat (total 6 buah) dimana sisi-sisi yang berhadapan memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Berbeda dengan kubus yang semua sisinya berbentuk persegi yang sama besar, balok sisi yang sama besar hanya sisi yang berhadapan dan tidak semuanya berbentuk persegi, kebanyakan bentuknya persegi panjang.

Rumus-rumus Balok

Volume = panjang x lebar x tinggi = p x l x t

Luas Permukaan = 2 (pl + pt + l t)

Limas

Limas adalah bangun ruang dengan alas berbentuk segi banyak, bisa segi tiga, segi empat, segi lima, dll dan bidang sisi tegaknya berbentuk segitiga yang berpotongan pada satu titik puncak. Ada banyak macam bangun ruang limas. Penamaannya berdasarkan bentuk alasnya.

Rumus-rumus Limas

Volume =  ¹/3 x Luas alas x Tinggi

Luas Permukaan = Jumlah Luas alas + Jumlah Luas sisi tegak 

Prisma

 

Prisma memiliki bidang alas dan bidang atas yang sejajar dan kongruen. Sisi lainnya berupa sisi tegak berbentuk pesegi panjang yang tegak lurus ataupun titik dengan bidang alas dan bidang atasnya. Jika dilhat dari bentuk alasnya ada yang namanya prisma segitiga, prisma segi empat, prisma segi lima, dan seterusnya. Jika alasnya berbentuk segi n Sobat Pintar bisa memberikan nama prisma segi n.

Rumus-rumus Prisma

Volume = Luas alas x Tinggi
Luas permukaan = (2 x Luas Alas) + (Keliling alas x tinggi)

 

BANGUN RUANG SISI LENGKUNG

Kerucut

kerucut adalah sebuah limas istimewa yang beralas lingkaran. Kerucut memiliki 2 sisi dan 1 rusuk.

 Rumus Kerucut:

1. Luas Alas

2. Luas Selimut

3. Luas Permukaan

4. Volume

Tabung

Tabung adalah bangun ruang sisi lengkung yang dibentuk oleh dua buah lingkaran identik yang sejajar dan sebuah persegi panjang yang mengelilingi kedua lingkarn tersebut. Tabung memiliki tiga sisi yakni dua sisi datar dan satu sisi lengkung.

Luas permukaan tabung ekuivalen dengan jumlahan semua luas bangun penyusun dari jaring-jaring tabung. Jaring-jaring tabung terdiri atas dua lingkaran dan satu persegi panjang.

 

 

 

 

Volume tabung

 

 

 

 

 

 

 

Bola

Bola adalah bangun ruang sisi lengkung yang dibatasi oleh satu bidang lengkung. Bola didapatkan dari bangun setengah lingkaran yang diputar satu putaran penuh atau 360 derajat pada garis tengahnya.

 Rumus Luas Permukaan Bola

Rumus Volume Bola

1.

Kerjakan soal berikut ini!

Sebuah tabung dengan tutup yang berjari-jari 14 cm memiliki luas permukaan 2.992 cm². Jika sebuah kerucut dengan jari-jari dan tinggi yang sama dimasukkan ke dalam tabung tersebut, berapa volume sisa volume tabung diluar kerucut?

A. 20 cm³
B. 1760 cm³
C. 4107 cm³
D. 8213 cm³
E. 12320 cm³

2.

Kerjakan soal berikut ini!

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8cm. Titik P dan Q berturut-turut adalah titik tengah dari garis BC dan CD. Volume limas APQ.E yaitu ….

A.
B.
C.
D.
E.

3.

Perhatikan bangun berikut ini!

 

A.
B.
C.
D.
E.

4.

Kerjakan soal berikut ini!

A.
B.
C.
D.
E.

5.

Kerjakan soal berikut ini!

Diketahui sebuah balok dengan perbandingan panjang, lebar, dan tinggi berturut-turut adalah 1 : 2 : 3 memiliki luas permukaan 198 cm². Jika sebuah kubus akan dimasukkan ke dalam balok, maka rusuk kubus berikut agar kubus dapat muat dalam balok adalah ….

A. 2 cm
B. 4 cm
C. 6 cm
D. 8 cm
E. 9 cm