UTBK - SNBT

Operasi pada Matriks

Operasi aljabar pada matriks hanya sebatas penjumlahan, pengurangan, perkalian dan ada juga operasi aljabar khusus yang hanya di terapkan pada matriks, yaitu transpose matriks.

PENJUMLAHAN MATRIKS

Jika terdapat dua matriks, misal matriks A dan B, yang memiliki ordo sama, maka elemen-elemen yang seletak dapat dijumlahkan. Jumlah A dan B dapat dinyatakan dengan A+B.

Jika A, B, C merupakan matriks dengan ordo yang sama, maka berlaku sifat penjumlahan, yaitu:

1. Komutatif : A+B = B+A
2. Asosiatif : (A+B)+C = A+(B+C)
3. Identitas : A+O = O+A = A, dengan O adalah matriks nol
4. (A+B)^t = A^t + B^t

PENGURANGAN MATRIKS

Jika terdapat dua matriks, misal matriks A dan B, yang memiliki ordo sama, maka elemen-elemen yang seletak dapat dikurangkan.

Pengurangan A dan B dapat dinyatakan dengan A – B atau A + (– B).

Jika A, B, C merupakan matriks dengan ordo yang sama, maka berlaku sifat pengurangan, yaitu:

1. A – A = O, dengan O adalah matriks nol
2. Identitas : A – O = A
3. (A – B)^t = A^t – B^t

PERKALIAN SKALAR PADA MATRIKS

Jika diketahui A merupakan suatu matriks dan K merupakan bilangan real, maka hasil perkalian K dengan matriks A adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan K.

Apabila A dan B merupakan matriks dengan ordo yang sama dan k, m merupakan bilangan real, maka berlaku:

1. (k+m)A = k.A + m.A
2. k(A+B) = k.A + k.B
3. (-1)A = A (-1) = -A, dengan –A adalah negatif dari matriks A
4. k(m.A) = (k.m)A
5. (kA)^t = k . A^t

PERKALIAN ANTAR MATRIKS

Dua buah matriks, misal matriks A dan B, dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B.

Bentuk perkalian antar matriks secara umum yaitu:

A_i×m × B_m×n = C_i×n

Untuk mencari hasil kali matriks A dengan matriks B ialah mengalikan elemen pada baris-baris matriks A dengan elemen pada kolom-kolom matriks B kemudian jumlahkan hasil perkalian antara baris dan kolom tersebut.

 

PERPANGKATAN MATRIKS

Pemangkatan matriks hanya berlaku pada matriks persegi. Jika A merupakan matriks persegi dan n, x, y adalah bilangan bulat maka berlaku:
A^x.A^y = A^(x+y)

(A^x)^y = A^x.y

Aⁿ = A.A_^n-1 , dengan n>0
A⁰ = 1

TRANSPOSE MATRIKS

Transpose suatu matriks, misal matriks A, yang dilambangkan dengan A_t adalah sebuah matriks yang disusun dengan cara menukarkan baris matriks A menjadi kolom matriks A_t dan kolom matriks A menjadi baris matriks A_t.

 

Determinan Matriks

DETERMINAN MATRIKS ORDO 2X2

Determinan suatu matriks didefinisikan sebagai selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder.  Determinan matriks hanya dapat ditentukan pada matriks persegi.

Determinan dari matriks A dapat dituliskan det(A) atau |A|.

Determinan matriks persegi dengan ordo 2x2 dapat dihitung dengan cara berikut:

Berikut ini sifat-sifat dari determinan matriks

DETERMINAN MATRIKS ORDO 3X3

Diketahui matriks A dengan ordo 3x3 sebagai berikut:

Determinan matriks persegi dengan ordo 3x3 dapat dicari dengan menggunakan 2 cara, yaitu:

Kaidah Sarrus

Langkah-langkah mencari determinan matriks ordo 3x3 dengan kaidah Sarrus:

1. Meletakkan kolom pertama dan kolom kedua di sebelah kanan garis vertikal determinan
2. Jumlahkan hasil kali elemen-elemen yang terletak pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen yang sejajar diagonal utama pada arah kanan kemudian kurangi dengan jumlah hasil kali elemen-elemen yang terletak pada diagonal samping dengan elemen-elemen yang sejajar dengan diagonal samping

|A| = (a.e.i) + (b.f.g) +( c.d.h) – (c.e.g) – (a.f.h) – (b.d.i)

|A| = (a.e.i + b.f.g + c.d.h) – (c.e.g + a.f.h + b.d.i)

Ekspansi Minor Kofaktor

Apabila diketahui sebuah matriks persegi A maka minor elemen aij dinyatakan oleh M_ij dan didefinisikan sebagai determinan submatriks yang tinggal setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari matriks A

Minor a₂₃  = M₂₃ dapat dicari dengan menghilangkan baris kedua dan kolom ketiga sehingga diperoleh M₂₃. Kemudian dicari nilai determinannya

Sedangkan kofaktor dari sebuah elemen adalah nilai minor beserta tandanya. Tanda dari determinan ditentukan dengan memberikan tanda positif (+) pada elemen baris pertama kolom pertama diikuti perubahan tanda ke bawah (vertikal) dan ke kanan (horizontal).

Untuk menentukan determinan matriksnya, kita harus memilih satu baris atau kolom. Misalkan dipilih baris pertama, maka:

Invers Matriks

Invers matriks dilambangkan dengan A^-1. Suatu matriks dikatakan memiliki invers jika determinan dari matriks tersebut tidak sama dengan nol. 

INVERS MATRIKS ORDO 2x2

Invers matriks persegi dengan ordo 2x2 dapat dicari dengan cara sebagai berikut:

INVERS MATRIKS ORDO 3x3

Untuk mencari invers matriks pada ordo 3x3 menggunakan metode eliminasi Gauss Jordan atau ekspansi kofaktor.

Metode Gauss-Jordan

Secara sistematis, eliminasi Gauss Jordan dapat dinyatakan sebagai berikut:

[A | I] → [I | A^-1]

Jadi matriks persegi A dieliminasi menggunakan operasi aljabar sampai membentuk matriks identitas. Operasi yang dilakukan pada matriks A juga dilakukan pada matriks identitas sehingga jika matriks A sudah menjadi matriks identitas, matriks identitas akan berubah menjadi invers dari matriks A.

Operasi yang dapat digunakan pada eliminasi Gauss-Jordan yaitu:

1. Bertukar baris
2. Menjumlahkan suatu baris dengan baris lain yang telah dikalikan dengan bilangan skalar

Metode Ekspansi Kofaktor

Pada metode ekspansi kofaktor, cara yang digunakan hampir sama dengan menentukan determinan matriks menggunakan ekspansi kofaktor. Namun, dalam menentukan invers matriks, menggunakan rumus berikut

Persamaan dan Penggunaan Matriks

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) maupun Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) dapat kita selesaikan menggunakan persamaan matriks dengan metode Cramer. Metode Cramer memanfaatkan konsep determinan pada matriks untuk menyelesaikan masalah SPLDV maupun SPLTV. Sebelum menggunakan matriks, kita harus bisa mengubah persamaan linear menjadi persamaan matriks.

Hampir sama dengan masalah SPLDV di atas, masalah SPLTV juga dapat diselesaikan dengan mengubah menjadi persamaan matriks terlebih dahulu.

Selain dengan metode Cramer, masalah SPLDV juga dapat diselesaikan dengan menggunakan Invers Matriks.

Dengan prinsip perkalian dua matriks, 

Untuk menentukan x dan y menggunakan invers matriks dapat dicari dengan rumus:

1.

Kerjakan soal berikut!

A. -30
B. -20
C. -18
D. 18
E. 30

2.

Kerjakan soal berikut!

A. 0
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6

3.

Kerjakan soal berikut!

A. -6
B. -7
C. -8
D. -9
E. -10

4.

Kerjakan soal berikut!

 

A. -3
B. -2
C. 1
D. 2
E. 3

5.

Kerjakan soal berikut!

A. -9
B. -7
C. 5
D. 7
E. 9