APSiswaNavbarV2

redesain-navbar Portlet

BelajarPintarV3

UTBK - SNBT

Pengetahuan Kuantitatif

MATERI

Bentuk Umum dan Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat merupakan fungsi yang berbentuk y = ax2 + bx + c, dengan a tidak sama dengan 0.

Grafik dari fungsi kuadrat menyerupai parabola, sehingga dapat dikatakan juga sebagai fungsi parabola

Berikut merupakan gambar perbandingan grafik fungsi kuadrat y=x2 , y = -x2, dan y = 2x2.

Nilai a pada fungsi y = ax2 + bx + c akan mempengaruhi bentuk grafiknya.

Jika a positif maka grafiknya akan terbuka ke atas. Sebaliknya jika a negatif maka grafiknya akan terbuka ke bawah. Jika nilai a semakin besar maka grafiknya menjadi lebih “kurus”.

Berikut merupakan perbandingan grafik fungsi kuadrat y = x2 + 2x, y = x2 – 3x + 2 dan y = –x2 – 5x – 4.

Garis putus-putus pada gambar di atas menerupakan sumbu simetri. Koordinat yang ditandai dengan bulatan merupakan titik puncak sedangkan koordinat yang ditandai dengan persegi merupakan titik potong dengan sumbu-y.

Nilai b pada grafik y = ax2 + bx + c menunjukkan letak koordinat titik puncak dan sumbu simetri (titik puncak dan sumbu simetri dibahas lebih lanjut pada subbab selanjutnya).

Jika a > 0, grafik y = ax2 + bx + c memiliki titik puncak minimum.

Jika a < 0, grafik y = ax2 + bx + c memiliki titik puncak maksimum.

Nilai c pada grafik y = ax2 + bx + c menunjukkan titik perpotongan grafik fungsi kuadrat tersebut dengan sumbu-y, yakni pada koordinat (0, c).

Sifat dan Nilai Optimum Grafik Fungsi Kuadrat

Sifat-Sifat Grafik Fungsi Kuadrat

fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c dapat ditentukan posisi grafiknya berdasarkan nilai a, b, c, dan diskriminannya

Posisi grafik membuka ke atas atau ke bawah dapat ditentukan dengan melihat nilai a, seperti pada gambar berikut:


Jika a positif, maka grafik membuka ke atas

Jika a negatif, grafik membuka ke bawah

Diskriminan digunakan untuk menentukan grafik menyinggung sumbu-x dengan rumus:

D = b2 - 4ac

Hubungan diskriminan dengan grafik fungsi kudrat yaitu

Jika D > 0, maka grafik memotong sumbu-x di dua titik

Jika D = 0, maka grafik menyinggung sumbu-x

Jika D < 0, maka grafik tidak memotong sumbu-x

Posisi titik puncak dan Sumbu simetri dari grafik fungsi kudrat dapat ditentukan dengan :

Jika b = 0, maka sumbu simetri dan titik puncak berada di sumbu-y

Jika ab<0, maka sumbu simetri dan titik puncak berada di kiri sumbu-y

Jika ab>0, maka sumbu simetri dan titik puncak berada di kanan sumbu-y

Sedangkan untuk menentukan titik potong sumbu-y dengan grafik dapat dilihat pada nilai c


Jika nilai c < 0, maka grafik memotong sumbu-y di bawah sumbu-x

Jika nilai c =0, maka grafik memotong titik (0,0)

Jika nilai c > 0, maka grafik memotong sumbu-y di atas sumbu-x

MENENTUKAN NILAI OPTIMUM

 

Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c mempunyai sumbu simetri

Dengan nilai optimumnya adalah

Sehingga titik puncaknya yaitu (x,y)

Merumuskan Fungsi Kuadrat

Merumuskan fungsi kuadrat jika diketahui grafiknya dapat dilakukan dengan 3 cara, yaitu :

  1. Jika diketahui 2 titik yang memotong sumbu-x (x1,0) dan (x2, 0) dan 1 titik sebarang, dengan rumus : y = a (x - x1)(x - x2)
  2. Jika diketahui titik puncak (xp,yp) dan 1 titik sebarang, dengan rumus : y = a (x - xp) + yp
  3. Jika diketahui 3 titik sebarang, dapat diselesaikan dengan mensubstitusi setiap titik pada fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c

Menentukan titik potong dua kurva

Jika fungsi kuadrat f(x) dengan fungsi linear/ fungsi kuadrat g(x) berpotongan, maka titik potong dapat ditentukan dengan cara

f(x) = g(x)

1.

Kerjakan soal berikut ini!

Diantara fungsi kuadrat berikut yang tidak memotong sumbu-x adalah …


A. x2 - 4x + 5
B. -x2 - 4
C. -x2 + 3x - 7
D. -x2 - 6x + 5
E. x2 + 5x + 7

JAWABAN BENAR

D.

-x2 - 6x + 5

PEMBAHASAN

Fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di satu titik maupun dua titik, berarti jika y = 0, deskriminan lebih dari atau sama dengan 0

Rumus deskriminan = b2 – 4ac

-    jika x2 – 4x + 5 = 0, maka D = -4
-    jika -x2 – 4 = 0, maka D = -16
-    jika -x2 +3x – 7 = 0, maka D = -19
-    jika -x2 – 6x + 5 = 0, maka D = 56

karena D > 0, maka f(x) memotong sumbu x di dua titik

2.

Kerjakan soal berikut ini!

Salah satu titik potong dari kurva y = x2 – 5x + 1 dengan y = x – 4 yaitu ….


A. (-3, 1)
B. (-1, -3)
C. (5, 1)
D. (1, 5)
E. (-1, -5)

JAWABAN BENAR

C.

(5, 1)

PEMBAHASAN

Untuk mencari titik potong y1 = y2
x2 – 5x + 1 = x – 4 
x2 – 5x – x +1 + 4 = 0
x2 – 6x + 5 = 0
(x – 5)(x – 1) = 0
x = 5 atau x = 1
Jika x = 1, maka y = 1 – 4 = -3 diperoleh titik (1,-3)
Jika x = 5, maka y = 5 – 4 = 1 diperoleh titik (5,1)

3.

Kerjakan soal berikut ini!

Diketahui grafik fungsi f(x) = x2 – 4x – 12 dan g(x) = 5x – 8. Jarak dua titik saat kedua fungsi berpotongan adalah ….


A. √26
B. 4
C. 5
D. -7
E. -12

JAWABAN BENAR

A.

√26

PEMBAHASAN

4.

Perhatikan grafik berikut!

Fungsi kuadrat dari grafik di atas adalah ….


A. y = x2 – 2x + 1
B. y = x2 + x - 2
C. y = x2 – 9
D. y = -x2 + x + 6
E. y = -x2 – 4

JAWABAN BENAR

B.

y = x2 + x - 2

PEMBAHASAN

Menyusun fungsi kuadrat jika diketahui dua titik yang memotong sumbu-x dapat menggunakan rumus : y = a (x – x1)(x – x2)

Grafik memotong sumbu x di titik (-2,0) dan (1,0) dan melalui titik (2,4)
4 = a (2 + 2)(2 – 1)
4 = a (4)(1)
1 = a

Sehingga diperoleh persamaan kurvanya adalah
y = 1 (x + 2)(x – 1)
y = x2 + x – 2

5.

Kerjakan soal berikut ini dengan tepat!

Sebuah grafik memiliki ciri-ciri D = 0, a < 0, dan c < 0. Grafik berikut ini yang memenuhi ciri-ciri tersebut adalah ….


A.
B.
C.
D.
E.

JAWABAN BENAR

E.

PEMBAHASAN

D = 0, berarti grafik memotong sumbu x di satu titik

a < 0, berarti grafik membuka ke bawah

c < 0, berarti grafik memotong sumbu y negatif

Diantara pilihan grafik yang sesuai ciri-ciri tersebut adalah grafik

redesain-navbar Portlet