Belajar Pintar Materi SMP, SMA, SMK

Daftar Materi

Bab 1

MATERI

Metode Uji Titik Pojok

Tahukah sobat pintar? bahwa terdapat 2 cara untuk menentukan nilai optimum suatu fungsi objektif. Cara yang pertama adalah metode uji titik pojok, dan cara yang kedua adalah metode garis selidik. Dalam sub bab ini, kita akan bahas bagaimana sih cara menentukan nilai optimum suatu fungsi objektif dengan metode uji titik pojok.

Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode uji titik pojok, lakukanlah langkah-langkah berikut.

a. Gambarlah daerah penyelesaian dari kendala-kendala dalam masalah program linear tersebut.

b. Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian itu.

c. Substitusikan koordinat setiap titik pojok itu ke dalam fungsi objektif.

d. Bandingkan nilai-nilai fungsi objektif tersebut. Nilai terbesar berarti menunjukkan nilai maksimum dari fungsi f(x, y), sedangkan nilai terkecil berarti menunjukkan nilai minimum dari fungsi f(x, y).

untuk lebih mudahnya, coba sobat pintar lihat contoh soal berikut.

PT. Usaha Karya akan mencari keuntungan maksismum dalam produksi kompor dengan model matematika f(x, y)= 40.000x + 30.000y.

Perhatikan daerah penyelesaian dari grafik pada gambar di atas.

a. Titik-titik pojoknya adalah titik O, A, B, C, dan D.

• Titik O adalah titik pusat koordinat. Jadi, titik O(0,0).

• Titik A adalah titik potong antara garis x 80 dan sumbu-x. Jadi, titik A(80, 0).

• Titik B adalah titik potong antara garis x 80 dan garis 8x +4y=800.

Substitusi x = 80 ke persamaan

8x + 4y=800

8 .80 + 4y = 800

y = 40

Jadi, titik B(80, 40).

• Titik C adalah titik potong antara garis 8x + 4y = 800 dan 2x + 5y = 800.

Dari 8x + 4y = 800 didapat y 200 - 2x.

Substitusi nilai y ke persamaan 2x + 5y = 800

2x + 5(200 - 2x) = 800

2x + 1000 - 10x = 800

-8x = -200

x = 25

Substitusi x = 25 ke persamaan y = 200 - 2x

y = 200 - 2 · 25

y = 150

Jadi, titik C(25, 150).

• Titik D adalah titik potong antara garis 2x + 5y = 800 dan sumbu-y. Substitusi x = 0 ke persamaan 2x + 5y = 800

2 .0 + 5y = 800

5y = 800

y = 160

Jadi, titik D(0, 160).

b. Uji titik-titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 40.000x + 30.000y, sehingga fungsi objektif ini maksimum.

Dari tabel tersebut dapat diperoleh nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) 40.000x + 30.000y adalah f(25, 150) = 5.500.000. Jadi, PT. Usaha Karya harus memproduksi 25 kompor dan 150 kompor sepeda untuk memperoleh keuntungan maksimum.

bagaimana sobat pintar? mudah bukan?

Metode Garis Selidik

setelah sobat pintar paham dengan metode uji titik pojok, yuk pelajari metode selanjutnya yaitu metode garis selidik.

Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode garis selidik, lakukanlah langkah-langkah berikut.

a. Tentukan garis selidik, yaitu garis-garis yang sejajar dengan garis ax + by k, a > 0, b > 0, dan k R.

b. Gambarkan garis selidik-garis selidik tersebut pada koordinat Cartesius!

c. Untuk menentukan nilai maksimum fungsi tujuan maka carilah garis selidik yang jaraknya terbesar terhadap titik pusat O(0, 0) dan berada pada daerah penyelesaian. Sedangkan untuk menentukan nilai minimum fungsi tujuan maka carilah garis selidik yang jaraknya terkecil terhadap titik pusat O(0, 0) dan berada pada daerah penyelesaian.

Sebagai contoh, grafik berikut ini adalah produksi kompor PT. Usaha Karya.

Garis selidik dari fungsi objektif f(x, y) = 40.000x + 30.000y adalah 4x + 3y= k.

Ambil k = 120, didapat garis selidik 4x + 3y 120.

Ambil k = 240, didapat garis selidik 4x + 3y = 240.

Ambil k = 550, didapat garis selidik 4x + 3y = 550.

Gambarkan garis-garis selidik ini sehingga kamu dapat menentukan nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) = 40.000x + 30.000y.

Perhatikan bahwa garis selidik yang menyebabkan fungsi objektif maksimum adalah 4x + 3y = 550.

Dengan mengalikan kedua ruas persamaan garis selidik dengan 10.000, kamu mendapatkan nilai maksimum fungsi objektif sebagai berikut. 10.000(4x + 3y) = 10.000(550)

40.000x + 30.000y = 5.500.000

Jadi, nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) = 40.000x + 30.000y adalah 5.500.000.

Dari gambar di atas tampak bahwa garis selidik 4x + 3y = 550 melalui titik C(25, 150). Ini berarti, fungsi objektif f(x, y) = 40.000x + 30.000y mencapai maksimum pada titik C(25, 150).

Jadi, PT. Usaha Karya harus memproduksi 25 kompor manual dan 150 bkompor listrik untuk memperoleh keuntungan maksimum Rp5.500.000,00.

Deo membeli 240 ton beras untuk dijual lagi. Ia menyewa dua jenis truk untuk mengangkut beras tersebut. Truk jenis A memiliki kapasitas 6 ton dan truk jenis B memiliki kapasitas 4 ton. Sewa tiap truk jenis A adalah Rp 100.000,00 sekali jalan dan truk jenis B adalah Rp 50.000,00 sekali jalan. Maka Deo menyewa truk itu sekurang-kurangnya 48 buah. Berapa banyak jenis truk A dan B yang harus disewa agar biaya yang dikeluarkan minimum?

A. 60 truk jenis B dan tidak menyewa truk jenis A
B. 48 truk jenis B dan 12 truk jenis A
C. 50 truk jenis B dan 10 truk jenis A
D. 58 truk jenis B dan 2 truk jenis A
E. tidak menyewa truk jenis B dan 60 truk jenis A

JAWABAN BENAR

60 truk jenis B dan tidak menyewa truk jenis A

PEMBAHASAN

Dengan fungsi objektifnya adalah f(x, y) = 100.000x + 50.000y

titik potong garis 6x + 4y = 240 dengan sumbu-y, titik potong garis x + y = 48 dengan sumbu-x, dan titik potong garis-garis x + y = 48 dan 6x + 4y = 240

Diperoleh, titik potong garis-garis x + y = 48 dan 6x + 4y = 240 adalah pada titik (24, 24)

Substitusikan koordinat setiap titik pojok itu ke dalam fungsi objektif

Dari ketiga hasil tersebut, dapat diperoleh bahwa agar biaya yang dikeluarkan minimum, Deo harus menyewa 60 truk jenis B dan tidak menyewa truk jenis A

Carilah nilai x dan y sehingga fungsi f(x,y) = 3x+4y bernilai maksimal dengan kendala bahwa: