Permutasi elemen yang sama dan berbeda
Hai sobat pintar ... kali ini kita akan belajar tentang teori permutasi bilangan.
Permutasi adalah susunan berurutan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan. Dalam permutasi perlu dipahami terlebih dahulu terkait faktorial. Hasil kali bilangan bulat dari 1 sampai n adalah n! (dibaca : n faktorial) atau :
n! = n x (n - 1) x (n - 2) x ... x 2 x 1
Contoh : 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Untuk menyelesaikan soal permutasi terdapat 4 metode yaitu:
1. Permutasi dari elemen yang berbeda
Permutasi elemen dari elemen yang ada (setiap elemen berbeda) adalah susunan elemen itu dalam suatu urutan yang diperhatikan. Jika (r > n) permutasinya :
nPr = n! / (n - r)!
Sehingga jika n = r, permutasinya nPr = n!
Sebagai ilustrasi: menyususn 3 elemen dari 3 huruf : a,b,c adalah a,b,c a,c,b b,c,a b,a,c c,a,b c,b,a dengan 3P3 = 3! = 6. Sedangkan menyusun 2 elemen dari 3 huruf adalah dengan 3P2 = 3! / (3 - 2)! = 3! = 6
2. Permutasi dengan beberapa elemen yang sama
Setiap unsur yang digunakan tidak boleh lebih dari satu kali. Banyak permutasi elemen n yang memuat elemen n1, n2, n3, ... , nr, dengan n1 + n2 + n3 .... nr adalah :
nP(n1, n2, n3, ... , nr) = n! / (n1! n2! ... nr!)
sebagai ilustrasi : ada 3 bola basket dan 2 bola kasti. Jumlah cara menyusunnya adalah :
p = n! / (n1! n2! ... nr!) = 6! / (3! 2!) = 6 x 5 x 4 x 3! / 3! x (2 x 1) = 60
Permutasi siklis dan permutasi berulang
Nah... sobat pintar, sebelumnya kita sudah mempelajari permutasi dengan elemen yang berbeda dan elemen yang sama, selanjutnya kita akan mempelajari tentang permutasi siklis dan permutasi berulang.
3. Permutasi siklis
Rumus permutasi siklis biasanya digunakan untuk menghitung banyak cara yang dapat dibuat dari susunan melingkar. Rumusnya adalah :
P(siklis) = (n - 1)!
sebagai ilustrasinya misal : bagaimana banyaknya cara 4 orang duduk melingkar dalam 1 meja makan adalah :
P(siklis) = (4 - 1)! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6
4. Permutasi berulang
Permutasi berulang adalah permutasi yang dalam penyusunannya urutan diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali (berulang). Banyaknya permutasi ini adalah :
P(berulang) = nr
sedangkan untuk rumus permutasi yang tidak boleh ditulis berulang adalah :
P(tidak berulang) = n! / (n - r)!
1.
Menjelang Pergantian kepengurusan BEM STMIK Tasikmalaya akan dibentuk panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua), calon panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada berapa pasang calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut?
A. 20
B. 30
C. 40
D. 50
E. 60
JAWABAN BENAR
PEMBAHASAN
6P2 = 6! / (6-2)!
= (6.5.4.3.2.1) / (4.3.2.1)
= 720 / 24
= 30 cara
Jawaban : B
2. Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu!
A. 180 cara
B. 200 cara
C. 210 cara
D. 220 cara
E. 250 cara
JAWABAN BENAR
PEMBAHASAN
Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
Maka banyaknya cara duduk ada :
7P3 = 7!/(7-3)!
= 7!/4!
= 7.6.5
= 210 cara
Jawaban : C
3.
Ada berapa cara 5 gelas warna yang mengitari meja kecil, dapat menempati kelima tempat dengan urutan yang berlainan?
A. 18 cara
B. 20 cara
C. 22 cara
D. 24 cara
E. 26 cara
JAWABAN BENAR
PEMBAHASAN
P(siklis) = (5-1)! = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 cara
Jawaban : D
