Konsep Vektor

^{Sumber : jualingps.com}

Sebagai anak muda jaman sekarang, Sobat Pintar pasti familiar dengan gambar di atas, bukan?

Betul sekali! GPS atau Global Positioning System pasti sering kita gunakan untuk mencari alamat rumah ya, Sobat.

Tahukah kalian bahwa GPS merupakan salah satu aplikasi dari materi matematika?

Yap! GPS memanfaatkan konsep vektor dalam menentukan sebuah lokasi.

Selain itu, vektor juga pernah kalian pelajari dalam materi fisika, bukan?

Nah! Vektor sendiri merupakan salah satu besaran yang ada di fisika selain besaran skalar.

Jika besaran skalar hanya memiliki nilai saja, vektor merupakan besaran yang memiliki nilai dan arah. Contoh dari besaran skalar adalah panjang, luas, volume, suhu, dll. Sedangkan contoh dari vektor yaitu kecepatan, percepatan, medan magnetik, dan lain sebagainya.

Vektor adalah ruas garis berarah yang memiliki besaran (nilai) dan arah tertentu. Secara geometris, suatu vektor dapat digambarkan sebagai ruas garis berarah dengan panjang ruas garis menyatakan besar vektor dan arah ruas garis menyatakan arah vektor.

Perhatikan contoh vektor berikut:

Seperti pada contoh vektor di atas, sebuah vektor dapat dinotasikan dengan beberapa ketentuan, diantaranya:

JENIS - JENIS VEKTOR

• Vektor nol : vektor yang besarnya nol satuan dan arahnya tak tentu
• Vektor posisi : posisi sebuah titik terhadap titik acuan tertentu yang dinyatakan dengan vektor posisi
• Vektor Basis : vektor yang panjangnya satu satuan dan arahnya searah sumbu koordinat
• Vektor Satuan : suatu vektor yang panjangnya satu satuan.

Secara aljabar, vektor dapat dinyatakan menjadi beberapa cara, yaitu :

Keterangan:

• Komponen x pada cektor kolom dan baris akan bernilai positif jika arah vektor ke kanan serta bernilai negatif jika arah vektor ke kiri. Sedangkan komponen y akan bernilai positif jika arah vektor ke atas dan bernilai negatif jika arah vektor ke bawah.
• Pada vektor basis, i : vektor satuan yang searah sumbu-x (absis), j : vektor satuan yang searah sumbu-y (ordinat), dan k : vektor satuan yang searah sumbu-z (aplikat). Sedangkan a_x : komponen arah sumbu-x, a_y : komponen arah sumbu-y, dan a_z : komponen arah sumbu z.

KESAMAAN DUA VEKTOR

Dua vektor dikatakan sama apabila memiliki panjang dan arah vektornya sama.

Misalkan diketahui vektor v dan u sebagai berikut:

Maka dapat disimpulkan bahwa u = v

Jika diketahui m merupakan vektor dari A ke B, sedangkan n merupakan vektor dari B ke A, maka:

Dapat disimpulkan bahwa m tidak sama dengan n.

Operasi Vektor

Kita dapat mengoperasikan vektor lho, Sobat!

Namun, operasi yang berlaku pada vektor hanya penjumlahan, pengurangan serta perkalian dengan bilangan skalar saja, Sobat.

PENJUMLAHAN

Dalam penjumlahan dua vektor, terdapat 2 macam cara penjumlahan yang bisa sobat pintar gunakan, yaitu:

Cara Jajar Genjang

Perhatikan gambar berikut!

Cara Segitiga

Perhatikan gambar berikut!

Dalam menghitung penjumlahan vektor jika diketahui koordinatnya, maka :

Jika diketahui panjang vektornya dan sudut yang terbentuk adalah ß, maka dapat digunakan rumus berikut:

PENGURANGAN

Pengurangan dua vektor, pada dasarnya sama dengan penjumlahan kedua vektor. Namun yang membedakan adalah terdapat salah satu vektor yang memiliki arah berlawanan sehingga benilai negatif.

Misalkan:

PERKALIAN VEKTOR DENGAN BILANGAN SKALAR

Perkalian antara vektor dengan skalar adalah hasil kali suatu bilangan skalar k dengan sebuah vektor a, secara sistematis dapat dituliskan:

Catatan:

PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR

Perkalian skalar dua vektor yaitu perkalian skalar antara vektor a dan vektor b. Perkalian skalar dua vektor dinotasikan dengan:

a • b  (dibaca vektor a dot vektor b)

Perkalian skalar dua vektor dapat didefinisikan:

a • b = |a| • |b| cos ß

dengan ß merupakan sudut diantara a dan b.

Catatan:

Jika dua vektor saling tegak lurus, maka hasil perkaliannya adalah nol.

SIFAT-SIFAT OPERASI VEKTOR

• Komutatif, yaitu : a + b = b + a
• Asosiatif, yaitu : a + (b + c) = (a + b) + c
• Distributif, yaitu : k(a + b) = ka + kb
• Memiliki elemen identitas, yaitu : a + 0 = 0 + a = a
• Memiliki elemen invers, yaitu : a + (-a) = (-a) + a = 0

Bagaimana Sobat? Mudah sekali, bukan? Lanjut yuk!

Panjang Vektor (Modulus Vektor)

Panjang vektor dapat ditentukan menjadi 2 macam, yaitu panjang vektor dari dua titik dan panjang vektor dari sebuah titik terhadap vektor o.

Sebelum itu, sobat pintar perlu tahu nih bahwa vektor terbagi menjadi 2 macam bergantung koordinat dari vektornya, antara lain:

• vektor pada bidang (2 dimensi)
• vektor pada ruang (3 dimensi)

VEKTOR PADA BIDANG

Vektor yang terletak pada bidang datar memiliki sumbu x dan sumbu y saja. Sehingga jika vektor a dituliskan dalam koordinat cartesius, yaitu (x_a, y_a).

Jika diketahui A(x_a, y_a), maka panjang vektor OA atau a, yaitu :

Jika diketahui A(x_a, y_a) dan B(x_b, y_b), maka panjang AB, yaitu :

VEKTOR PADA RUANG

Vektor yang terletak pada bidang datar memiliki sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Sehingga jika vektor a dituliskan dalam koordinat cartesius, yaitu (x_a, y_a,z_a).

Jika diketahui A(x_a, y_a,z_a), maka panjang vektor OA atau a, yaitu :

Jika diketahui A(x_a, y_a, z_a) dan B(x_b, y_b, z_b), maka panjang AB, yaitu :

Sudut Antar Vektor

Kita dapat mencari sudut yang dibentuk oleh dua vektor dengan menggunakan rumus berikut.

Sekarang kita tes pemahamanmu pada bagian latihan yuk!

Latihan 1

Perhatikan gambar vektor-vektor berikut!

Diketahui empat vektor di atas, pernyataan berikut yang benar adalah ....

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 2

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 3

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Jika s = (3    -7), maka 2s adalah ....

A. (6      -7)

B. (6      7)

C. (6      -14)

D. (6      14)

E. (12      -14)

Latihan 4

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Diketahui A = (-3, 4) dan B = (5, -2). Panjang vektor AB adalah ....

A. 100

B. 64

C. 36

D. 14

E. 10

Latihan 5

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Jika u = (2    5    -4), maka panjang u yaitu ....

A.

B.

C.

D.

E.