APSiswaNavbarV2

redesain-navbar Portlet

BelajarPintarV3

Peta Belajar Bersama

Halo, Sobat Pintar!

Sebelum kamu belajar mengenai Lingkaran, simak peta belajar bersama berikut ini dulu ya!

 

Bentuk Persamaan Lingkaran


Sobat Pintar masih ingat atau tidak, apa sih pengertian dari lingkaran itu?

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dengan satu titik tertentu. Yang dimaksud titik tertentu adalah titik pusat, sedangkan jarak yang sama adalah jari-jari lingkaran.

Sama halnya dengan gelombang sinus yang memiliki persamaan, lingkaran juga memiliki persamaan.

Bagaimana persamaannya?

Persamaan lingkaran dapat ditentukan jika diketahui titik pusat dan jari-jari lingkarannya.

LINGKARAN DENGAN PUSAT DI TITIK O(0,0)

Perhatikan gambar di atas!

Lingkaran L berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r.

Misal titik P(x, y) adalah sebarang titik yang terletak pada lingkaran L, panjang ruas garis OP akan sama dengan jari-jari
Dapat dibentuk segitiga POQ siku-siku di Q, berdasarkan teorema pythagoras diperoleh:

OQ2 + PQ2 = OP2 

Dari sini didapatkan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r:

 

LINGKARAN DENGAN PUSAT DI TITIK M(a,b)

Perhatikan gambar di atas!

Lingkaran L berpusat di titik M(a, b) dengan jari-jari r.

Misal titik P(x, y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran L, maka

MP = r 
MQ = x – a 
PQ = y – b 

Dengan informasi di atas dan segitiga PMQ, kita bisa menggunakan teorema pythagoras dan mendapatkan persamaan lingkaran yang berpusat di titik M(a, b) dan berjari-jari r

MQ2 + PQ2 = MP2 

 

BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN

Bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di titik M(a,b) dengan jari-jari r dapat dicari dengan cara berikut:

Jadi, bentuk umum dari persamaan lingkaran, yaitu:

 

RUMUS PENTING

Jarak dua titik

Misalkan diketahui titik A(xa,ya) dan titik B(xb, yb), maka jarak titik AB, yaitu:

Jarak titik dengan garis

Misalkan diketahui titik C(xc, yc) dan garis Ax + By + C = 0, maka jarak titik C ke garis tersebut, yaitu:

Materi lebih lengkap ada di Apps Aku Pintar

Download GRATIS
Aplikasi Aku Pintar Sekarang Juga!

QR Code

Materi lebih lengkap ada di Apps Aku Pintar

Download GRATIS
Aplikasi Aku Pintar Sekarang Juga!

QR Code

Materi lebih lengkap ada di Apps Aku Pintar

Download GRATIS
Aplikasi Aku Pintar Sekarang Juga!

QR Code

Materi lebih lengkap ada di Apps Aku Pintar

Download GRATIS
Aplikasi Aku Pintar Sekarang Juga!

QR Code

Materi lebih lengkap ada di Apps Aku Pintar

Download GRATIS
Aplikasi Aku Pintar Sekarang Juga!

QR Code

Kedudukan Titik terhadap Lingkaran

Kita dapat mengetahui kedudukan suatu titik terhadap lingkaran dengan mempertimbangkan jarak antara titik tersebut dan titik pusat lingkaran dengan jari-jari lingkaran tersebut.

Kedudukan sebuah titik terhadap lingkaran dapat kita tentukan dengan cara membandingkan jarak titik tersebut ke pusat lingkaran, bagaimana caranya? Sobat hanya perlu melihat syarat di bawah ini

  • Titik B(xb, yb) berada di dalam lingkaran jika dan hanya jika

(x– a)2 + (yb  b)2 < r2 

atau 

xb2 + yb2 + Axb + Byb + C < 0 

  • Titik C(xc, yc) berada pada lingkaran jika dan hanya jika

(xc  a)2 + (yc  b)2 = r2 

atau 

xc2 + yc2 + Axc + Byc + C = 0 

  • Titik D(xd, yd) berada di luar lingkaran jika dan hanya jika

(xd – a)2 + (yd – b)2 > r2 

atau 

xd2 + yd2 + Axd + Byd + C > 0 

Nilai yang sobat pintar hitung untuk mengetahui kedudukan titik terhadap lingkaran dinamakan kuasa titik, jadi kuasa suatu titik (x1, y1) terhadap lingkaran dapat dirumuskan sebagai berikut.

Kuasa = (x1 – a)2 + (y1 – b)2  r2 

atau 

Kuasa = x12 + y12 + Ax1 + By1 + C 

Materi lebih lengkap ada di Apps Aku Pintar

Download GRATIS
Aplikasi Aku Pintar Sekarang Juga!

QR Code

Materi lebih lengkap ada di Apps Aku Pintar

Download GRATIS
Aplikasi Aku Pintar Sekarang Juga!

QR Code

Materi lebih lengkap ada di Apps Aku Pintar

Download GRATIS
Aplikasi Aku Pintar Sekarang Juga!

QR Code

Materi lebih lengkap ada di Apps Aku Pintar

Download GRATIS
Aplikasi Aku Pintar Sekarang Juga!

QR Code

Materi lebih lengkap ada di Apps Aku Pintar

Download GRATIS
Aplikasi Aku Pintar Sekarang Juga!

QR Code

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Jadi, panjang dari rantai yang dibutuhkan untuk menghubungkan engsel sepeda dengan roda belakang sepeda dapat kita cari dengan menggunakan rumus-rumus pada materi kali ini.

Langsung simak pembahasannya ya!

Sebelumnya, Sobat Pintar sudah mencari tahu kedudukan garis terhadap lingkaran, salah satunya adalah garis yang menyinggung lingkaran. Jika dalam mencari kedudukan garis terhadap lingkaran akan diketahui persamaan garisnya, pada materi kali ini kita akan mencari persamaan dari garis yang menyinggung lingkaran.

Garis singgung sendiri adalah garis yang memotong lingkaran hanya di satu titik. Dalam mencari persamaan garis singgung lingkaran, kita dapat menentukannya dengan cara-cara berikut:

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG JIKA DIKETAHUI TITIK PADA LINGKARAN

Titik pada lingkaran dapat juga disebut dengan titik potong antara garis dengan lingkaran. Untuk menentukan persamaan garis singgung jika diketahui titik P(x1,y1) pada lingkaran dapat dicari bergantung persamaan lingkarannya, yaitu:

 

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG JIKA DIKETAHUI GRADIENNYA

Persamaan  garis singgung lingkaran jika diketahui  gradiennya dapat ditentukan dengan rumus berikut:

 

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG JIKA DIKETAHUI TITIK DI LUAR LINGKARAN

Terdapat 3 cara untuk menentukan persamaan garis singgung jika diketahui titik di luar lingkaran, tiga cara tersebut antara lain:

  1. Menggunakan diskriminan
  • Lakukan pemisalan persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik A(x1, y1)
    y – y1 = m (x – x1
    y = mx – mx1 + y1
  • Substitusi persamaan garis tersebut ke persamaan lingkaran sehingga diperoleh persamaan kuadrat dengan variabel x
  • Karena garis menyinggung lingkaran, artinya diskriminan dari persamaan kuadrat tadi harus bernilai nol atau D = 0
  • Cari nilai m, dan kembalikan nilai m ke persamaan garis singgung pada langkah awal
  1. Menggunakan rumus persamaan garis singgung dengan gradien diketahui
  • Lakukan pemisalan persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik A(x1, y1)
    y – y1 = m (x – x1
    y = mx – mx1 + y1
  • Lakukan pemisalan persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m
  • Samakan kedua garis singgung untuk mendapat nilai m
  • Kembalikan nilai m ke pemisalan awal
  1. Menggunakan bantuan persamaan garis kutub
  • Cari persamaan garis kutub titik A(x1, y1) dengan rumus
  • Substitusi persamaan garis ke kutub ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan titik potong garis kutub dan lingkaran
  • Dari titik potong yang sudah didapatkan sobat pintar bisa menggunakan rumus garis singgung dengan titik pada lingkaran

Ketiga cara ini akan lebih mudah dipahami jika sobat pintar perhatikan contoh soal berikut:

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25 yang melalui titik (–1, 7) di luar lingkaran!

Cara 1:

Cara 2:

Cara 3:

Materi lebih lengkap ada di Apps Aku Pintar

Download GRATIS
Aplikasi Aku Pintar Sekarang Juga!

QR Code

Materi lebih lengkap ada di Apps Aku Pintar

Download GRATIS
Aplikasi Aku Pintar Sekarang Juga!

QR Code

Materi lebih lengkap ada di Apps Aku Pintar

Download GRATIS
Aplikasi Aku Pintar Sekarang Juga!

QR Code

Materi lebih lengkap ada di Apps Aku Pintar

Download GRATIS
Aplikasi Aku Pintar Sekarang Juga!

QR Code

Materi lebih lengkap ada di Apps Aku Pintar

Download GRATIS
Aplikasi Aku Pintar Sekarang Juga!

QR Code

Materi lebih lengkap ada di Apps Aku Pintar

Download GRATIS
Aplikasi Aku Pintar Sekarang Juga!

QR Code

Materi lebih lengkap ada di Apps Aku Pintar

Download GRATIS
Aplikasi Aku Pintar Sekarang Juga!

QR Code

Materi lebih lengkap ada di Apps Aku Pintar

Download GRATIS
Aplikasi Aku Pintar Sekarang Juga!

QR Code

Materi lebih lengkap ada di Apps Aku Pintar

Download GRATIS
Aplikasi Aku Pintar Sekarang Juga!

QR Code

Kedudukan Dua Lingkaran


Pada gambar di atas terdapat beberapa ilustrasi hubungan lingkaran, salah satu contohnya adalah lingkaran kecil yang ada di dalam lingkaran kaset dan lingkaran kaset itu sendiri, kedudukan dari kedua lingkaran ini adalah saling lepas di dalam.

Kedudukan dua lingkaran dapat ditentukan dengan melihat nilai diskriminan (D = b2 – 4ac) dari persamaan kuadrat yang didapat dengan mensubstitusi atau mengeliminasi dua persamaan lingkaran tersebut.

Selain diskriminan, hubungan antara jarak kedua titik pusat lingkaran dan jari-jari kedua lingkaran juga dibutuhkan jika sobat pintar ingin mendapatkan kedudukan dua lingkaran yang lebih spesifik. Kriteria kedudukan dari dua lingkaran dapat dilihat di bawah ini.

  • Jika D > 0, kedua lingkaran saling berpotongan di dua titik. Sehingga diperoleh:

Gambar di sebelah kiri adalah dua lingkaran yang berpotongan biasa, sedangkan gambar sebelah kanan adalah  dua lingkaran yang berpotongan tegak lurus (orthogonal)

 

  • Jika D = 0, kedua lingkaran bersinggungan di satu titik. Sehingga terdapat dua kemungkinan, yaitu:

Gambar sebelah kiri adalah dua lingkaran yang bersinggungan di luar, sedangkan gambar sebelah kanan adalah dua lingkaran yang bersinggungan di dalam

 

  • Jika D < 0, kedua lingkaran saling lepas, sehingga terdapat dua kemungkinan berikut:

Gambar di sebelah kiri adalah dua lingkaran yang saling lepas di luar, sedangkan gambar sebelah kanan adalah dua lingkaran yang saling lepas di dalam.

Materi lebih lengkap ada di Apps Aku Pintar

Download GRATIS
Aplikasi Aku Pintar Sekarang Juga!

QR Code

Materi lebih lengkap ada di Apps Aku Pintar

Download GRATIS
Aplikasi Aku Pintar Sekarang Juga!

QR Code

Materi lebih lengkap ada di Apps Aku Pintar

Download GRATIS
Aplikasi Aku Pintar Sekarang Juga!

QR Code

Materi lebih lengkap ada di Apps Aku Pintar

Download GRATIS
Aplikasi Aku Pintar Sekarang Juga!

QR Code

Materi lebih lengkap ada di Apps Aku Pintar

Download GRATIS
Aplikasi Aku Pintar Sekarang Juga!

QR Code

redesain-navbar Portlet