redesain-navbar Portlet

BelajarPintarV3

Peta Belajar Bersama

Halo, Sobat Pintar!

Sebelum kamu belajar mengenai lingkaran, simak peta belajar bersama berikut ini dulu, ya!

Konsep Persamaan Lingkaran

Sobat Pintar pasti sudah mengetahui tentang lingkaran, bukan?

Coba Sobat Pintar masih ingat atau tidak, pengertian dari lingkaran itu apa sih?

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dengan satu titik tertentu. Yang dimaksud titik tertentu adalah titik pusat, sedangkan jarak yang sama adalah jari-jari lingkaran.

Nah materi yang akan kita pelajari kali ini yaitu mencari tahu persamaan dari sebuah lingkaran.

Persamaan lingkaran dapat ditentukan jika diketahui titik pusat dan jari-jari lingkarannya.

LINGKARAN DENGAN PUSAT DI TITIK O(0,0)

Sebuah lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r, secara analitik persamaan lingkarannya, yaitu:

LINGKARAN DENGAN PUSAT DI TITIK P(a,b)

Sebuah lingkaran yang berpusat di titik P(a,b) dan berjari-jari r, secara analitik persamaan lingkarannya, yaitu:

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(a,b) dengan jari-jari r dapat dicari dengan cara berikut:

Jadi, bentuk umum dari persamaan lingkaran, yaitu:

Kedudukan Titik pada Lingkaran

Kita dapat mengetahui kedudukan titik terhadap suatu lingkaran lho, Sobat!

Kita dapat mengetahui kedudukan suatu titik terhadap lingkaran dengan mempertimbangkan jarak antara titik tersebut dan titik pusat lingkaran dengan jari-jari lingkaran tersebut.

Misalkan diketahui titik A(x1,y1) dan lingkaran dengan pusat P(a,b) yang berjari-jari r, maka:

  • Titik di luar lingkaran, jika dan hanya jika panjang AP lebih besar dari jari-jari lingkaran, secara sistematis dapat dituliskan:

  • Titik terletak pada lingkaran, jika dan hanya jika panjang AP sama dengan jari-jari lingkaran, secara sistematis dapat dituliskan:

  • Titik di dalam lingkaran, jika dan hanya jika panjang AP kurang dari jari-jari lingkaran, secara sistematis dapat dituliskan:

Kedudukan Garis pada Lingkaran

Selain titik, kita juga dapat mengetahui kedudukan suatu garis terhadap lingkaran, Sobat!

Kedudukan dari garis terhadap lingkaran terbagi menjadi 3 macam, yaitu :

  • garis di luar lingkaran
  • garis yang menyinggung lingkaran
  • garis yang memotong lingkaran.

Untuk mengetahui kedudukan sebuah garis terhadap lingkaran, kita harus mensubstitusikan terlebih dahulu persamaan garis y = mx + c pada persamaan lingkaran sehingga diperoleh persamaan dengan bentuk ax2 + bx + c = 0.

Nah, kedudukan garis terhadap lingkaran ditentukan dari nilai deskrimininan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0.

Kalau Sobat Pintar lupa, nih kakak ingatkan kembali rumus dari determinan persamaan kuadrat:

D = b2 – 4ac

  • Jika D > 0, maka garis memotong lingkaran di dua titik
  • Jika D = 0, maka garis menyinggung lingkaran atau memotong lingkaran di satu titik
  • Jika D < 0, maka garis berada di luar lingkaran.

RUMUS PENTING

Jarak dua titik

Misalkan diketahui titik A(xa,ya) dan titik B(xb, yb), maka jarak titik AB, yaitu:

Jarak titik dengan garis

Misalkan diketahui titik C(xc, yc) dan garis Ax + By + C = 0, maka jarak titik C ke garis tersebut, yaitu:

Latihan 1

Kerjakan soal berikut ini dengan tepat!

Sebuah lingkaran memiliki persamaan x2+y2=16, jari-jari lingkaran tersebut adalah ....

A. 1

B. 2

C. 4

D. 6

E. 16

Latihan 2

Kerjakan soal berikut ini dengan tepat!

Diketahui sebuah lingkaran berjari-jari 6. Jika lingkaran tersebut berpusat di titik (-3,5), maka bentuk umum persamaan lingkaran tersebut adalah ....

A. x2 + y2 – 6x – 10y – 2 = 0

B. x2 + y2 + 6x + 10y + 2 = 0

C. x2 + y2 – 6x + 10y – 2 = 0

D. x2 + y2 + 6x – 10y – 2 = 0

E. x2 + y2 – 10x + 6y + 2 = 0

Latihan 3

Kerjakan soal berikut ini dengan tepat!

Diketahui sebuah lingkaran memiliki persamaan x2 + y2 - 4x + 10y - 7 = 0. Titik yang terletak di luar lingkaran tersebut adalah ....

A. (1,-5)

B. (3,7)

C. (-4, -5)

D. (-6,1)

E. (4,-1)

Latihan 4

Kerjakan soal berikut ini dengan tepat!

Kedudukan garis y = 2x + 1 pada lingkaran x2 + y2 = 12 adalah ....

A. Di luar lingkaran

B. Di dalam lingkaran

C. Menyinggung lingkaran

D. Memotong lingkaran

E. Bersilangan

Latihan 5

Kerjakan soal berikut ini dengan tepat!

Sebuah lingkaran memiliki persamaan x2 + y2 + 8x + 12y + 3 = 0, pusat dan jari-jari lingkaran tersebut berturut-turut adalah ....

A. (4,6) dan 7

B. (-4,-6) dan 7

C. (8,12) dan 3

D. (-8,-12) dan 3

E. (-4,12) dan 7

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Sumber : Otosia.com

Sobat Pintar pernah memperhatikan rantai dari sepeda ataupun sepeda motor?

Nah, pemasangan rantai pada sepeda merupakan salah satu aplikasi dari materi Garis Singgung Lingkaran lho, Sobat!

Jadi, panjang dari rantai yang dibutuhkan untuk menghubungkan engsel sepeda dengan roda belakang sepeda dapat kita cari dengan menggunakan rumus-rumus pada materi kali ini.

Langsung simak pembahasannya ya!

Sebelumnya, Sobat Pintar sudah mencari tahu kedudukan garis terhadap lingkaran, salah satunya adalah garis yang menyinggung lingkaran. Jika dalam mencari kedudukan garis terhadap lingkaran akan diketahui persamaan garisnya, pada materi kali ini kita akan mencari persamaan dari garis yang menyinggung lingkaran.

Garis singgung sendiri adalah garis yang memotong lingkaran hanya di satu titik. Dalam mencari garis singgung lingkaran, kita dapat menentukannya dengan 3 cara, yaitu:

  1. Jika diketahui titik pada lingkaran
  2. Jika diketahui titik di luar lingkaran
  3. Jika diketahui gradien garis singgungnya

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG JIKA DIKETAHUI TITIK PADA LINGKARAN

Titik pada lingkaran dapat juga disebut dengan titik potong antara garis dengan lingkaran. Untuk menentukan persamaan garis singgung jika diketahui titik P(x1,y1) pada lingkaran dapat dicari bergantung persamaan lingkarannya, yaitu:

 

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG JIKA DIKETAHUI TITIK DI LUAR LINGKARAN

Apabila diketahui titik A(x1,y1) di luar lingkaran, kalian dapat menentukan persamaan garis singgungnya dengan cara berikut:

1. Lakukan pemisalan gradien garis singgung (m) yang melalui titik A (x1,y1) sehingga diperoleh persamaan garis :

y – y1 = m (x – x1)

y = mx – mx1 + y1

2. Substitusikan persamaan garis tersebut ke persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dengan variabel x.

3. Tentukan nilai diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut, karena garis tersebut merupakan garis singgung, maka D = 0.

4. Carilah nilai m.

5. Substitusikan nilai m pada persamaan garis y = mx – mx1 + y1, sehingga diperoleh persamaan garis singgung lingkaran.

 

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG JIKA DIKETAHUI GRADIENNYA

Persamaan  garis singgung lingkaran jika diketahui  gradiennya dapat ditentukan dengan rumus berikut:

Hubungan Dua Lingkaran

Seperti pada garis, dua lingkaran juga dapat saling berhubungan loh sobat!

Apalagi kalau dua lingkaran saling berkaitan, jadi nampak seperti cincin pernikahan hihi..

Langsung aja kita bahas hubungan antara dua lingkaran ya, Sobat!

Misalkan terdapat dua lingkaran, lingkaran L1 berpusat di A dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di B dengan jari-jari r.

Kedudukan dua lingkaran dapat ditentukan oleh nilai deskriminan, yaitu D = b2 – 4ac.

Persamaan dari salah satu lingkaran dapat disubstitusikan pada persamaan lingkaran yang lain, kemudian hasilnya dapat menentukan kedudukan dari kedua lingkatan dengan ketentuan:

  • Jika D > 0, kedua lingkaran saling berpotongan di dua titik. Sehingga diperoleh:

  • Jika D = 0, kedua lingkaran bersinggungan di satu titik. Sehingga terdapat dua kemungkinan, yaitu :

  • Jika D < 0, kedua lingkaran saling lepas, sehingga terdapat dua kemungkinan berikut:

Latihan 1

Kerjakan soal berikut ini dengan tepat!

Sebuah lingkaran memiliki persamaan x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0. Jika titik (-5,6) terletak pada lingkaran, garis singgung lingkaran tersebut adalah .... 

A. 3y – 4x + 2 = 0

B. 4x – 3y + 2 = 0

C. 3x – 4y – 2 = 0

D. 4y – 3x – 2 = 0

E. 9x – 6x + 8 = 0

Latihan 2

Kerjakan soal berikut ini dengan tepat!

Diketahui lingkaran berpusat di O(0,0) dengan jari-jari 9 cm. Jika gradien garis singgung pada lingkaran tersebut sama dengan – ½ , maka persamaan garis singgungnya adalah ....

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 3

Kerjakan soal berikut ini dengan tepat!

Gradien garis singgung yang melewati titik (11,2) dan menyinggung lingkaran (x – 7)2 + (y + 1)2 = 25 adalah ....

A. 4

B. 3

C. 4/3

D. 3/4

E. 1/2

Latihan 4

Kerjakan soal berikut ini dengan tepat!

Titik (12,5) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 169, persamaan garis singgung yang melewati titik tersebut yaitu ....

A. x + y = 13

B. 5x – 12y = 169

C. 5x + 12y = 169

D. 12x + 5y = 169

E. 12x – 5y = 169

Latihan 5

Kerjakan soal berikut ini dengan tepat!

Diketahui dua lingkaran yang memiliki titik pusat masing-masing (5,-2) dan (-3,4). Jika jari-jari lingkaran pertama adalah 4 dan lingkaran kedua adalah 6, maka kedudukan kedua lingkaran adalah ....

A. Lingkaran satu di dalam lingkaran dua

B. Lingkaran dua di dalam lingkaran satu

C. Kedua lingkaran terpisah

D. Saling berpotongan di dua titik

E. Saling bersinggungan

redesain-navbar Portlet