APSiswaNavbarV2

redesain-navbar Portlet

BelajarPintarV3

Peta Belajar Bersama

Halo, Sobat Pintar!

Sebelum kamu belajar mengenai Lingkaran, simak peta belajar bersama berikut ini dulu ya!

 

Bentuk Persamaan Lingkaran


Sobat Pintar masih ingat atau tidak, apa sih pengertian dari lingkaran itu?

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dengan satu titik tertentu. Yang dimaksud titik tertentu adalah titik pusat, sedangkan jarak yang sama adalah jari-jari lingkaran.

Sama halnya dengan gelombang sinus yang memiliki persamaan, lingkaran juga memiliki persamaan.

Bagaimana persamaannya?

Persamaan lingkaran dapat ditentukan jika diketahui titik pusat dan jari-jari lingkarannya.

LINGKARAN DENGAN PUSAT DI TITIK O(0,0)

Perhatikan gambar di atas!

Lingkaran L berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r.

Misal titik P(x, y) adalah sebarang titik yang terletak pada lingkaran L, panjang ruas garis OP akan sama dengan jari-jari
Dapat dibentuk segitiga POQ siku-siku di Q, berdasarkan teorema pythagoras diperoleh:

OQ2 + PQ2 = OP2 

Dari sini didapatkan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r:

 

LINGKARAN DENGAN PUSAT DI TITIK M(a,b)

Perhatikan gambar di atas!

Lingkaran L berpusat di titik M(a, b) dengan jari-jari r.

Misal titik P(x, y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran L, maka

MP = r 
MQ = x – a 
PQ = y – b 

Dengan informasi di atas dan segitiga PMQ, kita bisa menggunakan teorema pythagoras dan mendapatkan persamaan lingkaran yang berpusat di titik M(a, b) dan berjari-jari r

MQ2 + PQ2 = MP2 

 

BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN

Bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di titik M(a,b) dengan jari-jari r dapat dicari dengan cara berikut:

Jadi, bentuk umum dari persamaan lingkaran, yaitu:

 

RUMUS PENTING

Jarak dua titik

Misalkan diketahui titik A(xa,ya) dan titik B(xb, yb), maka jarak titik AB, yaitu:

Jarak titik dengan garis

Misalkan diketahui titik C(xc, yc) dan garis Ax + By + C = 0, maka jarak titik C ke garis tersebut, yaitu:

Latihan 1

Kerjakan soal berikut ini dengan tepat!

Sebuah lingkaran memiliki persamaan x2+y2=16, jari-jari lingkaran tersebut adalah ....

A. 1

B. 2

C. 4

D. 6

E. 16

Latihan 2

Kerjakan soal berikut ini dengan tepat!

Diketahui sebuah lingkaran berjari-jari 6. Jika lingkaran tersebut berpusat di titik (-3,5), maka bentuk umum persamaan lingkaran tersebut adalah ....

A. x2 + y2 – 6x – 10y – 2 = 0

B. x2 + y2 + 6x + 10y + 2 = 0

C. x2 + y2 – 6x + 10y – 2 = 0

D. x2 + y2 + 6x – 10y – 2 = 0

E. x2 + y2 – 10x + 6y + 2 = 0

Latihan 3

Kerjakan soal berikut ini dengan tepat!

Sebuah lingkaran memiliki persamaan x2 + y2 + 8x + 12y + 3 = 0, pusat dan jari-jari lingkaran tersebut berturut-turut adalah ....

A. (4,6) dan 7

B. (-4,-6) dan 7

C. (8,12) dan 3

D. (-8,-12) dan 3

E. (-4,12) dan 7

Latihan 4

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Diketahui lingkaran x2 + y2 + 2x + 2y – 26 – p = 0, lingkaran tersebut berjari-jari 6. Nilai p adalah ....

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

E. 9

Latihan 5

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

A. –1

B. 0

C. 1

D. 2

E. 3

Kedudukan Titik terhadap Lingkaran

Kita dapat mengetahui kedudukan suatu titik terhadap lingkaran dengan mempertimbangkan jarak antara titik tersebut dan titik pusat lingkaran dengan jari-jari lingkaran tersebut.

Kedudukan sebuah titik terhadap lingkaran dapat kita tentukan dengan cara membandingkan jarak titik tersebut ke pusat lingkaran, bagaimana caranya? Sobat hanya perlu melihat syarat di bawah ini

  • Titik B(xb, yb) berada di dalam lingkaran jika dan hanya jika

(x– a)2 + (yb  b)2 < r2 

atau 

xb2 + yb2 + Axb + Byb + C < 0 

  • Titik C(xc, yc) berada pada lingkaran jika dan hanya jika

(xc  a)2 + (yc  b)2 = r2 

atau 

xc2 + yc2 + Axc + Byc + C = 0 

  • Titik D(xd, yd) berada di luar lingkaran jika dan hanya jika

(xd – a)2 + (yd – b)2 > r2 

atau 

xd2 + yd2 + Axd + Byd + C > 0 

Nilai yang sobat pintar hitung untuk mengetahui kedudukan titik terhadap lingkaran dinamakan kuasa titik, jadi kuasa suatu titik (x1, y1) terhadap lingkaran dapat dirumuskan sebagai berikut.

Kuasa = (x1 – a)2 + (y1 – b)2  r2 

atau 

Kuasa = x12 + y12 + Ax1 + By1 + C 

Kedudukan Garis terhadap Lingkaran

Selain titik, kita juga dapat mengetahui kedudukan suatu garis terhadap lingkaran sobat!

Kedudukan dari garis terhadap lingkaran terbagi menjadi 3 macam, yaitu

Untuk mengetahui kedudukan sebuah garis terhadap lingkaran, kita harus mensubstitusikan terlebih dahulu persamaan garis y = mx + n pada persamaan lingkaran sehingga diperoleh persamaan dengan bentuk ax2 + bx + c = 0.

Nah, kedudukan garis terhadap lingkaran ditentukan dari nilai deskrimininan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0.

Kalau Sobat Pintar lupa, nih kakak ingatkan kembali rumus dari determinan persamaan kuadrat D = b2 – 4ac

Kedudukan garis terhadap lingkaran mengikuti syarat berikut yaa sobat

  • Jika D > 0, maka garis memotong lingkaran di dua titik
  • Jika D = 0, maka garis menyinggung lingkaran atau memotong lingkaran di satu titik
  • Jika D < 0, maka garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran

Latihan 1

Kerjakan soal berikut ini dengan tepat!

Diketahui sebuah lingkaran memiliki persamaan x2 + y2 – 4x + 10y – 7 = 0. Titik yang terletak di luar lingkaran tersebut adalah ....

A. (1, –5)

B. (3, 7)

C. (–4, –5)

D. (–1, 1)

E. (4, –1)

Latihan 2

Kerjakan soal berikut ini dengan tepat!

Kedudukan garis y = 2x + 1 pada lingkaran x2 + y2 = 12 adalah ....

A. di luar lingkaran

B. di dalam lingkaran

C. menyinggung lingkaran

D. memotong lingkaran

E. bersilangan

Latihan 3

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Diketahui titik A(–3, n) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 13. Nilai n yang memenuhi adalah ....

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5

Latihan 4

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Diketahui garis y = –2x + c menyinggung lingkaran x2 + y2 – 4x – y + 3 = 0. Nilai c yang memenuhi adalah ....

A. –7

B. –6

C. 5

D. 6

E. 7

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Jadi, panjang dari rantai yang dibutuhkan untuk menghubungkan engsel sepeda dengan roda belakang sepeda dapat kita cari dengan menggunakan rumus-rumus pada materi kali ini.

Langsung simak pembahasannya ya!

Sebelumnya, Sobat Pintar sudah mencari tahu kedudukan garis terhadap lingkaran, salah satunya adalah garis yang menyinggung lingkaran. Jika dalam mencari kedudukan garis terhadap lingkaran akan diketahui persamaan garisnya, pada materi kali ini kita akan mencari persamaan dari garis yang menyinggung lingkaran.

Garis singgung sendiri adalah garis yang memotong lingkaran hanya di satu titik. Dalam mencari persamaan garis singgung lingkaran, kita dapat menentukannya dengan cara-cara berikut:

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG JIKA DIKETAHUI TITIK PADA LINGKARAN

Titik pada lingkaran dapat juga disebut dengan titik potong antara garis dengan lingkaran. Untuk menentukan persamaan garis singgung jika diketahui titik P(x1,y1) pada lingkaran dapat dicari bergantung persamaan lingkarannya, yaitu:

 

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG JIKA DIKETAHUI GRADIENNYA

Persamaan  garis singgung lingkaran jika diketahui  gradiennya dapat ditentukan dengan rumus berikut:

 

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG JIKA DIKETAHUI TITIK DI LUAR LINGKARAN

Terdapat 3 cara untuk menentukan persamaan garis singgung jika diketahui titik di luar lingkaran, tiga cara tersebut antara lain:

  1. Menggunakan diskriminan
  • Lakukan pemisalan persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik A(x1, y1)
    y – y1 = m (x – x1
    y = mx – mx1 + y1
  • Substitusi persamaan garis tersebut ke persamaan lingkaran sehingga diperoleh persamaan kuadrat dengan variabel x
  • Karena garis menyinggung lingkaran, artinya diskriminan dari persamaan kuadrat tadi harus bernilai nol atau D = 0
  • Cari nilai m, dan kembalikan nilai m ke persamaan garis singgung pada langkah awal
  1. Menggunakan rumus persamaan garis singgung dengan gradien diketahui
  • Lakukan pemisalan persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik A(x1, y1)
    y – y1 = m (x – x1
    y = mx – mx1 + y1
  • Lakukan pemisalan persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m
  • Samakan kedua garis singgung untuk mendapat nilai m
  • Kembalikan nilai m ke pemisalan awal
  1. Menggunakan bantuan persamaan garis kutub
  • Cari persamaan garis kutub titik A(x1, y1) dengan rumus
  • Substitusi persamaan garis ke kutub ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan titik potong garis kutub dan lingkaran
  • Dari titik potong yang sudah didapatkan sobat pintar bisa menggunakan rumus garis singgung dengan titik pada lingkaran

Ketiga cara ini akan lebih mudah dipahami jika sobat pintar perhatikan contoh soal berikut:

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25 yang melalui titik (–1, 7) di luar lingkaran!

Cara 1:

Cara 2:

Cara 3:

Garis Singgung pada Dua Lingkaran

Setelah melewati pembahasan persamaan garis singgung, sekarang muncul lagi pertanyaan baru, bagaimana kalau garis singgung tersebut menyinggung dua lingkaran sekaligus. Sebenarnya garis singgung ini sudah punya nama nih sobat pintar, yaitu garis singgung persekutuan dalam dan garis singgung persekutuan luar, apa saja bedanya, yuk kita bahas!

GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR 

Garis singgung persekutuan luar adalah garis l yang ada pada ilustrasi di atas, sobat pintar dapat menghitung panjang ruas garisnya dengan rumus berikut.

 

GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DALAM 

Berbeda dengan garis singgung tadi, garis singgung persekutuan dalam memiliki posisi seperti pada ilustrasi. Panjang ruas garis singgung tersebut juga bisa dihitung dengan rumus berikut.

Latihan 1

Kerjakan soal berikut ini dengan tepat!

Sebuah lingkaran memiliki persamaan x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0. Jika titik (-5,6) terletak pada lingkaran, garis singgung lingkaran tersebut adalah .... 

A. 3y – 4x + 2 = 0

B. 4x – 3y + 2 = 0

C. 3x – 4y – 2 = 0

D. 4y – 3x – 2 = 0

E. 9x – 6x + 8 = 0

Latihan 2

Kerjakan soal berikut ini dengan tepat!

Diketahui lingkaran berpusat di O(0,0) dengan jari-jari 9 cm. Jika gradien garis singgung pada lingkaran tersebut sama dengan – ½ , maka persamaan garis singgungnya adalah ....

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 3

Kerjakan soal berikut ini dengan tepat!

Gradien garis singgung yang melewati titik (11,2) dan menyinggung lingkaran (x – 7)2 + (y + 1)2 = 25 adalah ....

A. 4

B. 3

C. 4/3

D. 3/4

E. 1/2

Latihan 4

Kerjakan soal berikut ini dengan tepat!

Titik (12,5) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 169, persamaan garis singgung yang melewati titik tersebut yaitu ....

A. x + y = 13

B. 5x – 12y = 169

C. 5x + 12y = 169

D. 12x + 5y = 169

E. 12x – 5y = 169

Latihan 5

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 16 yang tegak lurus garis 2x – y = 8 adalah ....

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 6

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Persamaan garis singgung pada lingkaran x+ y= 25 yang melalui titik T(7, 0) di luar lingkaran adalah ....

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 7

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 24 cm dan jarak kedua pusatnya adalah 26 cm. jika panjang salah satu jari-jari lingkaran 6 cm, maka panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah ... cm.

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

E. 6

Latihan 8

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Jari-jari lingkaran dengan pusat A dan B adalah 10 cm dan 4 cm. Jika panjang AB sama dengan 10 cm, maka panjang ruas garis singgung persekutuan luar dari dua lingkaran tersebut adalah ... cm.

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

E. 8

Kedudukan Dua Lingkaran


Pada gambar di atas terdapat beberapa ilustrasi hubungan lingkaran, salah satu contohnya adalah lingkaran kecil yang ada di dalam lingkaran kaset dan lingkaran kaset itu sendiri, kedudukan dari kedua lingkaran ini adalah saling lepas di dalam.

Kedudukan dua lingkaran dapat ditentukan dengan melihat nilai diskriminan (D = b2 – 4ac) dari persamaan kuadrat yang didapat dengan mensubstitusi atau mengeliminasi dua persamaan lingkaran tersebut.

Selain diskriminan, hubungan antara jarak kedua titik pusat lingkaran dan jari-jari kedua lingkaran juga dibutuhkan jika sobat pintar ingin mendapatkan kedudukan dua lingkaran yang lebih spesifik. Kriteria kedudukan dari dua lingkaran dapat dilihat di bawah ini.

  • Jika D > 0, kedua lingkaran saling berpotongan di dua titik. Sehingga diperoleh:

Gambar di sebelah kiri adalah dua lingkaran yang berpotongan biasa, sedangkan gambar sebelah kanan adalah  dua lingkaran yang berpotongan tegak lurus (orthogonal)

 

  • Jika D = 0, kedua lingkaran bersinggungan di satu titik. Sehingga terdapat dua kemungkinan, yaitu:

Gambar sebelah kiri adalah dua lingkaran yang bersinggungan di luar, sedangkan gambar sebelah kanan adalah dua lingkaran yang bersinggungan di dalam

 

  • Jika D < 0, kedua lingkaran saling lepas, sehingga terdapat dua kemungkinan berikut:

Gambar di sebelah kiri adalah dua lingkaran yang saling lepas di luar, sedangkan gambar sebelah kanan adalah dua lingkaran yang saling lepas di dalam.

Garis Kuasa Dua Lingkaran

Pada materi kedudukan titik terhadap lingkaran sudah sedikit dibahas tentang kuasa titik, sobat pintar bisa cek lagi pada materi tersebut, karena yang kali ini kita bahas adalah tentang garis kuasa dua lingkaran.

Apa itu garis kuasa dua lingkaran? Garis kuasa dua lingkaran adalah himpunan titik kuasa dua lingkaran. Kalau begitu, apa itu titik kuasa dua lingkaran? Titik kuasa dua lingkaran adalah suatu titik dengan nilai kuasa yang sama terhadap kedua lingkaran.

Misal ada dua lingkaran L1: x2 + y2 + A1x + B1y + C1 = 0 dan L2: x2 + y2 + A2x + B2x + C2 = 0, maka berdasarkan definisi barusan akan didapat rumus persamaan garis kuasa dua lingkaran sebagai berikut:

Selain garis kuasa dua lingkaran, sebenarnya ada juga titik kuasa tiga lingkaran, dimana titik kuasa tiga lingkaran adalah titik potong antara ketiga garis kuasa yang terbentuk. Agar lebih terlihat apa yang dimaksud dengan titik kuasa tiga lingkaran sobat pintar bisa lihat ilustrasi di bawah ini, dimana titik J adalah titik kuasa dari tiga lingkaran L1, L2, dan L3.

Berkas Lingkaran

Berkas lingkaran mungkin merupakan hal yang baru dan asing bagi sobat pintar, namun setelah menyimak materi ini kakak yakin sobat pintar akan menganggap kalau berkas lingkaran adalah suatu hal yang mudah dipahami.

Berkas lingkaran adalah himpunan lingkaran yang terbentuk dari dua lingkaran dasar L1 dan L2 dan memenuhi persamaan 

Pada ilustrasi di awal, dapat dilihat contoh salah satu berkas lingkaran yang terbentuk dari L1 dan L2.

Untuk lebih memperjelas tentang berkas lingkaran, ada baiknya kita coba contoh soal berikut.

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong lingkaran L1: x2 + y2 + 2x + 2y – 2 = 0 dan L2: x2 + y2 + 4x – 8y + 4 = 0, serta melalui titik asal (0, 0)!

Pembahasan:

Latihan 1

Kerjakan soal berikut ini dengan tepat!

Diketahui dua lingkaran yang memiliki titik pusat masing-masing (5,–2) dan (–3,4). Jika jari-jari lingkaran pertama adalah 4 dan lingkaran kedua adalah 6, maka kedudukan kedua lingkaran adalah ....

A. lingkaran satu di dalam lingkaran dua

B. lingkaran dua di dalam lingkaran satu

C. kedua lingkaran terpisah

D. saling berpotongan di dua titik

E. saling bersinggungan

Latihan 2

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Gradien dari persamaan garis kuasa dari lingkaran x2 + y2 = 25 dan x2 + y2 – 6x – 8y – 11 = 0 adalah ....

A. –4/3

B. –3/4

C. 3/4

D. 1

E. 4/3

Latihan 3

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Persamaan lingkaran yang melalui titik potong lingkaran L1: x2 + y2 + 2x + 3y – 7 = 0 dan L2: x2 + y2 + 3x – 2y – 1 = 0, serta melalui titik (1, 2) adalah ....

A. x2 + y2 – 4x – 7y – 5 = 0

B. x2 + y2 – 4x + 7y – 5 = 0

C. x2 + y2 + 4x – 7y – 5 = 0

D. x2 + y2 + 4x – 7y + 5 = 0

E. x2 + y2 + 4x + 7y + 5 = 0

redesain-navbar Portlet