Polinomial

Pengertian dan Contoh Polinomial

Suatu produk berbentuk kubus akan dikemas dan membutuhkan perlindungan bubble wrap setebal 8 cm untuk atas dan bawah serta 4 cm untuk samping-sampingnya. Berapakah volume kemasan produk tersebut?

Persoalan seperti ini merupakan masalah yang berkaitan dengan polinomial, bagaimana kaitannya? Simak sampai akhir yaa....

Pertama-tama sobat pintar harus tau, apa itu polinomial?

Polinomial atau suku banyak adalah suatu bentuk aljabar yang terdiri atas beberapa suku dan memuat satu variabel berpangkat bulat positif.

Secara umum polinomial dalam x dan berderajat n dapat dituliskan sebagai berikut.

Agar sobat pintar lebih paham berikut adalah contoh dan bukan contoh dari polinomial

Penjumlahan dan Pengurangan Polinomial

Operasi aljabar seperti penjumlahan dan pengurangan ternyata bisa lho dilakukan pada polinomial. Untuk menjumlah atau mengurang pada polinomial sobat pintar hanya perlu menjumlahkan atau mengurangkan antar koefisien suku-suku sejenis

Apasih yang dimaksud suku sejenis? Apakah x³ dan 3x suku-suku yang sejenis? 

Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang memiliki variabel berpangkat sama, jadi x³ dan 3x itu tidak sejenis yaa sobat. Contoh suku-suku sejenis adalah x⁴ dan 2x⁴ dimana kedua suku sama-sama memiliki variabel berpangkat 4.

Agar sobat pintar lebih paham kita coba ke contoh soal saja yaa.

Diketahui polinomial:
p(x) = 6x⁴ -8x² +7x +10
q(x) = 10x² +11x -12
Berapakah hasil penjumlahan dan pengurangan polinomial p(x) dan q(x)?

Pembahasan:
Penjumlahan polinomial p(x) dan q(x)
p(x) + q(x) = (6x⁴ -8x² +7x +10) + (10x² +11x -12) 
p(x) + q(x) = 6x⁴ +(-8x² +10x²) +(7x +11x) +(10 -12) 
p(x) + q(x) = 6x⁴ +(-8 +10)x² +(7 +11)x +(-2) 
p(x) + q(x) = 6x⁴ +2x² +18x -2 

Pengurangan polinomial p(x) dan q(x)
p(x) - q(x) = (6x⁴ -8x² +7x +10) - (10x² +11x -12) 
p(x) - q(x) = 6x⁴ -8x² +7x +10 -10x² -11x +12 
p(x) - q(x) = 6x⁴ +(-8x² -10x²) +(7x -11x) +(10 +12) 
p(x) - q(x) = 6x⁴ +(-8-10)x² +(7-11)x +22 
p(x) - q(x) = 6x⁴ -18x² -4x +22 

Pembagian Polinomial

Sobat pintar pasti sudah biasa untuk membagi bilangan dengan cara diatas, nah sekarang bagimana yaa kalau pembagiannya bukan sekedar bilangan, melainkan polinomial. 

Ada dua cara untuk menyelesaikan pembagian polinomial sobat, pertama dengan cara diatas atau biasa disebut cara bersusun dan yang kedua dengan cara horner. 

Sebelum membagi polinomial mari kita ulas kembali pembagian. Pembagian secara umum dapat ditulis:

Bilangan yang dibagi = (pembagi × hasil bagi) + sisa

Pada polinomial juga berlaku hal yang sama, misal polinomial f(x) dibagi oleh p(x) menghasilkan h(x) dan sisanya s(x), maka dapat ditulis:

f(x)=p(x)·h(x) +s(x) 

Pembagian polinomial oleh bentuk linear (mx+n)

Misal polinomial f(x) dibagi (mx+n) maka dapat ditulis

Agar sobat pintar tidak bingung dengan penjelasan barusan, sobat pintar perhatikan contoh soal berikut.

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari (3x⁴ –5x³ +7x² +5x +2) : (3x+1)

Cara bersusun

Cara Horner

Pembagian polinomial oleh bentuk kuadrat (ax²+bx+c) dengan a bukan nol

Pada pembagian ini cara horner hanya bisa dipakai jika pembaginya bisa difaktorkan. Misal polinomial f(x) dibagi (ax²+bx+c) dengan a bukan 0, maka langkah penyelesaian cara horner adalah

Untuk mempermudah sobat pintar dalam memahami penjelasan diatas sobat pintar bisa menyimak contoh soal berikut.

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari polinomial f(x)=x⁴ –3x² +2x –1 oleh x² –x –2

Cara bersusun

Cara Horner

Pembagi x² –x –2 difaktorkan menjadi (x–2)(x+1), artinya k₁=2, k₂=–1, dan a=1

Akar-Akar Rasional

Sepanjang pembahasan polinomial kita selalu menuliskan polinomial dalam bentuk f(x), kali ini kita akan menuliskannya dalam bentuk persamaan, tahukah sobat pintar bagaimana bentuk dari persamaan polinomial?

Bentuk umum persamaan polinomial dengan variabel x dapat dituliskan sebagai berikut.

a_nxⁿ+a_(n–1)x^(n–1)+a_(n–2)x^(n–2)+ ... +a₂x²+a₁x+a₀=0 

Dengan a_n tidak 0 dan n bilangan asli

Sama halnya seperti persamaan kuadrat, persamaan polinomial juga memiliki akar-akar persamaan rasional. Untuk persamaan polinomial berderajat dua akar–akar persamaannya bisa dicari dengan cara yang sama dengan mencari akar-akar persamaan kuadrat. Namun, untuk mencari akar-akar rasional dari persamaan polinomial berderajat lebih dari dua harus melewati langkah-langkah berikut:

Untuk memahami diagram diatas sebaiknya kita langsung mencoba ke contoh soal

Temukan seluruh akar-akar rasional dari persamaan polinomial x⁴–15x²–10x+24=0

Langkah 1: Selidiki f(1)=1⁴–15(1)³–10(1)+24=1–15–10+24=0, artinya x=1 merupakan akar persamaan,

Untuk mencari akar yang lain, kita bisa gunakan cara horner berikut untuk mendapatkan hasil bagi

Hasil bagi pembagian diatas adalah h(x)=x³+x²–14x–24

Langkah 1 pada hasil bagi h(x): Selidiki h(1)=1³+1²–14(1)–24=1+1–14–24=–36, artinya x=1 bukan merupakan akar persamaan

Langkah 2 pada hasil bagi h(x): Selidiki h(–1)=(–1)³+(–1)²–14(–1)–24=–1+1+14–24=–10, artinya x=–1 bukan merupakan akar persamaan

Langkah 3 pada hasil bagi h(x): nilai mutlak a₀=|a₀|=|–24|=24. Faktor dari 24 adalah ±1,±2,±3,±4,±6,±8,±12, dan ±24. Karena x=±1 bukan merupakan akar, maka x=±1 tidak perlu dicoba lagi

Karena sisa =0 maka x=–2 merupakan akar dari h(x)=0 dengan hasil bagi x²–x–12,

Untuk mencari akar yang lain, kita bisa memfaktorkan x²–x–12=0 sebagai berikut
x²–x–12=0 
(x–4)(x+3)=0 
x=4 atau x=–3

Jadi, akar–akar rasional dari persamaan x⁴–15x²–10x+24=0 adalah –3,–2,1, dan 4