redesain-navbar Portlet

BelajarPintarV3

Peta Belajar Bersama

Halo, Sobat Pintar!

Sebelum kalian mempelajari tentang materi Polinomial, coba kalian perhatikan peta belajar bersama ini dulu ya!

Definisi Polinomial

Sumber: pakapri.net

Sobat Pintar pasti sudah mengenal persamaan linear dan persamaan kuadrat, bukan?

Apakah kalian masih mengingat syarat dari sebuah persamaan linear dan persamaan kuadrat?

Bagaimana kalau sebuah persamaan berderajat tiga atau lebih?

Nah, ternyata persamaan yang berderajat tiga atau lebih mempunyai nama lho, Sobat!

Yap! Seperti nama BAB kali ini, yaitu POLINOMIAL (Suku Banyak).

Polinomial atau yang biasa disebut dengan suku banyak merupakan bentuk dari suku-suku yang berderajat banyak dan disusun dari peubah variabel serta konstanta.

Suku banyak dinyatakan dalam variabel x yang berderajat n, sehingga bentuk umum dari polinomial, yaitu:

Jika polinomial merupakan sebuah fungsi, maka dapat dituliskan:

Jika polinomial merupakan sebuah persamaan, maka dapat dituliskan:

Seperti yang kalian lihat pada bentuk umum polinomial, suatu polinomial memiliki variabel, koefisien, konstanta dan derajat (pangkat).

Oh iya, perlu kalian ketahui ya Sobat, bahwa tidak semua persamaan termasuk dalam polinomial.

Jadi, ada syarat-syarat suatu persamaan dapat disebut polinomial, yaitu:

  1. Variabel tidak boleh berpangkat negatif ataupun pecahan.
  2. Variabel tidak boleh termasuk dalam sebuah persamaan trigonometri.

Gimana? Sudah paham tentang definisi dari polinomial?

Sekarang kita lanjut ke Nilai Polinomial, yuk!

Nilai Polinomial

Nilai sebuah polinomial f(x) untuk x = h dapat kita cari tahu nilainya dengan menggunakan dua metode:

  • Metode Substitusi
  • Metode Horner

METODE SUBSTITUSI

Dalam metode substitusi, polinomial f(x) dengan x = h dapat langsung mensubstitusikan h pada f(x) atau h menggantikan x pada fungsi f(x) sehingga menjadi f(h).

METODE HORNER

Cara lain untuk mencari nilai polinomial selain dengan substitusi adalah dengan metode Horner. Langkah-langkah pada metode horner adalah sebagai barikut:

  1. Tuliskan koefisien pada polinomial (harus urut, mulai dari koefisien xn, xn-1, dst, sampai konstanta) pada bagian atas
  2. Tuliskan bilangan h pada sisi luar
  3. Koefisien derajat tertinggi diturunkan
  4. Kalikan koefisien derajat tertinggi dengan h, kemudian letakkan di bawah koefisien selanjutnya
  5. Jumlahkan hasil perkalian sebelumnya dengan koefisien di atasnya
  6. Lakukan hal yang sama sampai dijumlahkan dengan konstanta
  7. Hasilnya berada pada bagian kanan bawah

Perhatikan skema Horner secara umum berikut!

Misalkan diketahui sebuah fungsi f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, akan dicari nilai h, sehingga:

Latihan 1

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Suatu polinomial terdiri dari hal-hal berikut, kecuali ....

A. variabel

B. pangkat

C. fungsi

D. konstanta

E. koefisien

Latihan 2

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Salah satu syarat suatu persamaan dapat disebut polinomial, yaitu ....

A. variabel tidak boleh berupa angka

B. variabel tidak boleh berupa huruf

C. variabel boleh termasuk dalam persamaan trigonometri

D. variabel tidak boleh berpangkat negatif ataupun pecahan

E. variabel boleh berupa akar

Latihan 3

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Salah satu metode yang digunakan untuk menentukan nilai polinomial adalah ....

A. metode Horner

B. metode eliminasi

C. metode pemfaktoran

D. teorema Pythagoras

E. metode campuran

Latihan 4

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Diketahui f(x) = x3 – 3x2 + 7. Jika x = 5, maka nilai dari f(5) adalah ....

A. 43

B. 50

C. 57

D. 64

E. 75

Latihan 5

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Diketahui f(h) = h3 – 2h2 – 3h + 5. Jika h = 2, maka nilai dari f(h) adalah ....

A. -2

B. -1

C. 0

D. 1

E. 2

Penjumlahan dan Pengurangan Polinomial

Sobat Pintar tahu tidak gambar di atas?

Yap! Metode Horner, tapi apa Sobat Pintar menyadari ada perbedaan dengan metode horner biasa?

Tenang aja, setelah ini akan kita bahas lebih lengkap mengenai metode horner seperti gambar di atas.

Nah, setelah mempelajari konsep polinomial, sekarang kita akan belajar tentang operasi pada polinomial.

Operasi yang dapat dilakukan pada polinomial sama seperti operasi aljabar pada umumnya, yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.

Namun terdapat syarat yang berbeda pada setiap operasi polinomial.

Langsung simak pembahasannya berikut ini ya!

PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN POLINOMIAL

Sobat Pintar masih ingat tidak mengenai suku yang sejenis dan tidak sejenis?

Apakah x3 sejenis dengan x2 dan x?

Bukan ya, Sobat!

x3 tidak sejenis dengan x2 dan x, begitupula x2 tidak sejenis dengan x.

Jadi, suku yang sejenis adalah suku yang variabelnya berderajat sama atau suku yang sama-sama tidak memiliki variabel (konstanta). 

Nah, pada operasi penjumlahan dan pengurangan polinomial mempunyai syarat penjumlahan atau pengurangan polinomial dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangi suku-suku yang sejenis saja.

Misalkan diketahui f(x) = ax3 + bx2 + cx + d dan g(x) = px3 + qx2 + rx + s, maka:

f(x) + g(x) = (a + p) x3 + (b +q) x2 + (c + r) x + (d + s)

f(x) – g(x) = (a – p) x3 + ( b – q) x2 + (c – r) x + (d – s)
 

Perkalian Polinomial

Berbeda dengan penjumlahan dan pengurangan, pada operasi perkalian polinomial dilakukan dengan mengkalikan setiap suku pada fungsi pertama dengan setiap suku pada fungsi kedua.

Pembagian Polinomial

Berbeda pula dengan penjumlahan, pengurangan, dan perkalian, pembagian pada polinomial memiliki definisi tersendiri.

Definisi pembagian dua polinomial, yaitu suatu polinomial P(x) berderajat n dibagi dengan Q(x) berderajat m (dengan m < n) menghasilkan hasil bagi H(x)

berderajat (n – m) dan sisa S(x) maksimal berderajat (m – 1).

Secara sistematis dapat dituliskan:

PEMBAGIAN POLINOMIAL DENGAN (x – h) 

Pembagian polinomial P(x) dengan Q(x) = x – h dapat dituliskan:

Penentuan hasil bagi dan sisa dari pembagian P(x) oleh (x – h) dapat dicari dengan menggunakan 3 cara, yaitu:

  1. pembagian bersusun (porogapit)
  2. metode horner
  3. koefisien tak tentu.

Cara pembagian bersusun atau porogapit pernah kalian pelajari saat kelas 7 SMP. Sedangkan metode horner dapat dilakukan dengan cara seperti yang sudah dijelaskan pada subab sebelumnya.

Hasil pembagian dan sisa pembagian pada metode horner ditunjukkan seperti berikut:

Untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian dengan cara koefisien tak tentu dapat menggunakan langkah-langkah berikut:

  1. Lakukan pemisalan pada H(x) dan S(x), misalkan H(x) = ax + b dan S(x) cx + d
  2. Substitusikan H(x) dan S(x) yang sudah dimisalkan pada bentuk pembagian
  3. Lakukan operasi aljabar sehingga diperoleh koefisien dari setiap variabel berderajat tertinggi sampai konstanta dalam a, b, c, dan d
  4. Samakan setiap koefisien berdasarkan derajat variabelnya, sehingg diperoleh nilai a, b, c, dan d
  5. Substitusikan nilai a, b, c, dan d pada pemisalan H(x) dan S(x), sehingga diperoleh hasil bagi dan sisa pembagiannya

PEMBAGIAN POLINOMIAL DENGAN (ax – b)

Pada pembagian suku banyak dengan (x – h), bentuk pembagiannya menjadi P(x) = (x – h).H(x) + S(x). Misalkan h = b/a, akan diperoleh:

PEMBAGIAN POLINOMIAL DENGAN (ax+ bx + c)

Pembagian polinomial dengan pembagi ax2 + bx + c dapat menggunakan metode Horner-Kino. Metode Horner-Kino hampir sama dengan metode Horner, tapi yang membedakan adalah pembaginya memiliki dua akar persamaan atau lebih.

Perhatikan contoh pembagian polinomial dengan pembagi ax2 + bx + c berikut!

Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian

P(x)= x4 + 3x3 - 11x2 + 5x - 12 dengan x2 - 3x + 2!

Pembahasan:

Jadi, hasil baginya H(x) = x2 + 6 + 5 dan sisa pembaginya S(x) = 8x – 24.

Latihan 1

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Diketahui f(x) = x+ x- 3x+ 10x+ 8x + 1 dan g(x) = x+ x- 2x+ 18x - 10. Nilai dari f(x)+g(x) adalah ....

A. 2x5 + 2x4 - 3x3 + 8x2 + 16x - 9

B. 2x5 + x4 - x3 + 8x2 + 16x - 9

C. x5 + 2x4 - 3x3 + 8x2 + 16x - 19

D. 12x5 + 2x4 - 3x3 + 18x2 + 16x - 9

E. 3x5 + 2x4 - 3x3 + 8x2 + 16x - 8

Latihan 2

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Diberikan suku banyak f(x) = 5x3 - 3x2 + 2x + 9 dan g(x) = -2x3 + 2x2 - 3x + 1, suku berpangkat tertinggi dari f(x) - g(x) adalah....

A. 8x3

B. 7x3

C. 6x3

D. 5x3

E. 3x3

Latihan 3

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Koefisien x2 dari perkalian dua polinomial berikut (x2 - 3x + 5)(x - 7) adalah ....

A. 10

B. 8

C. -8

D. -9

E. -10

Latihan 4

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Hasil pembagian P(x) = x4 - 3x2 - 1) oleh (x - 3) adalah ....

A. x3 + 3x2 - 4x + 10

B. x3 + 3x2 - 16x + 18

C. 2x3 + 3x2 - 6x + 18

D. x3 + 3x2 - 6x + 18

E. 2x3 + 3x2 - 6x + 8

Latihan 5

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Suku banyak x3 - 2x + 3 dibagi oleh x + 4, sisanya adalah ....

A. -59

B. -53

C. 50

D. 53

E. 59

Teorema Polinomial

Sobat Pintar tahu kan apa itu teorema?

Teorema adalah suatu pernyataan matematika yang membutuhkan pembuktian untuk mengetahui kebenarannya. Pembuktian teorema dapat berasal dari aksioma, definisi maupun teorema yang sudah terbukti kebenarannya. Masih berhubungan dengan subab sebelumnya, kali ini kita akan membahas mengenai teorema-teorema yang berhubungan dengan polinomial (suku banyak). 

Nah, pada bab ini kita akan membuktikan kebenaran dari dua teorema, yaitu : teorema sisa dan teorema faktor.

TEOREMA SISA

Disebut teorema sisa karena teorema ini berkaitan dengan pembagian suku banyak.

Seperti yang kita tahu, bentuk umum dari pembagian suku banyak, yaitu: P(x) = H(x).Q(x) + S(x), dengan P(x) sebagai suku banyak, Q(x) sebagai pembagi, H(x) sebagai hasil bagi, dan S(x) sebagai sisa pembagian.

Nah, daripada kita harus mencari sisa pembagian tanpa perlu mencari hasil baginya, kita tidak perlu melakukan pembagian seperti subab sebelumnya. Kita bisa langsung menggunakan teorema-teorema sisa berikut ini:

TEOREMA 1 : PEMBAGI BERBENTUK (x-h)

Jika suku banyak P(x) berderajat n dibagi dengan (x – h), maka sisa pembagiannya adalah P(h).

Secara sistematis dapat dituliskan:

TEOREMA 2 : PEMBAGI BERBENTUK (ax-b)

Jika suku banyak P(x) berderajat n dibagi dengan (ax – b), maka sisa pembagiannya adalah P(b/a).

Secara sistematis dapat dituliskan:

TEOREMA 3 : PEMBAGI BERBENTUK (x-h1)(x-h2)

Jika suku banyak P(x) berderajat n dibagi dengan (x – h1)(x – h2), maka sisa pembagiannya dapat dituliskan:

Teorema Faktor

TEOREMA FAKTOR

Selain terorema sisa, dalam polinomial juga terdapat teorema faktor.

Teorema faktor ini sangat erat kaitannya dengan akar persamaan.

Misalkan P(x) adalah suatu polinomial. (x – h) dikatakan faktor dari P(x) apabila P(h) = 0 atau sisa pembagiannya adalah nol.

Secara sistematis dapat dituliskan:

TEOREMA AKAR VIETA

Suatu persamaan polinomial berderajat n:

Latihan 1

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Jika suku banyak f(x) = x4 + 3x3 - 5x + 6 dibagi oleh (x - 2) maka sisanya adalah ....

A. 15

B. 30

C. 36

D. 40

E. 44

Latihan 2

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Jika suku banyak f(x) = x4 + 3x3 + x2 - (p+1)x + 1 dibagi oleh (x - 2) sisanya adalah 35. Nilai p adalah ....

Latihan 3

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Suatu suku banyak f(x) dibagi (x+2) sisanya -1 dan jika dibagi (x-1) sisanya 2, maka f(x) jika dibagi (x2+x-2) adalah ....

A. x - 1

B. x + 1

C. x + 2

D. x + 3

E. x + 6

Latihan 4

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Suku banyak f(x) = 3x3 - 13x2 + 8x + 12 dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian faktor-faktor linearnya menjadi ....

A. f(x)=(x-2)(3x+2)(x-3)

B. f(x)=(x-2)(3x-2)(x-2)

C. f(x)=(x+2)(2x+3)(x-3)

D. f(x)=(x+2)(3x+2)(x+3)

E. f(x)=(2x-2)(3x+2)(x+3)

Latihan 5

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Salah satu faktor dari (2x+ px- 10x - 24) adalah (x+4). Faktor-faktor lainnya adalah ....

A. (2x+3)(x+2)

B. (2x-3)(x-2)

C. (2x+3)(x-2)

D. (x+3)(x-2)

E. (x+2)(3x-2)

redesain-navbar Portlet