APSiswaNavbarV2

redesain-navbar Portlet

BelajarPintarV3

Peta Belajar Bersama

Halo, Sobat Pintar!

Sebelum sobat pintar mempelajari tentang materi Polinomial, sobat bisa perhatikan Peta Belajar Bersama ini dulu ya!

Pengertian dan Contoh Polinomial

Suatu produk berbentuk kubus akan dikemas dan membutuhkan perlindungan bubble wrap setebal 8 cm untuk atas dan bawah serta 4 cm untuk samping-sampingnya. Berapakah volume kemasan produk tersebut?

Persoalan seperti ini merupakan masalah yang berkaitan dengan polinomial, bagaimana kaitannya? Simak sampai akhir yaa....

Pertama-tama sobat pintar harus tau, apa itu polinomial?

Polinomial atau suku banyak adalah suatu bentuk aljabar yang terdiri atas beberapa suku dan memuat satu variabel berpangkat bulat positif.

Secara umum polinomial dalam x dan berderajat n dapat dituliskan sebagai berikut.

Agar sobat pintar lebih paham berikut adalah contoh dan bukan contoh dari polinomial

Latihan 1

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Suatu polinomial terdiri dari hal-hal berikut, kecuali ....

A. variabel

B. pangkat

C. fungsi

D. konstanta

E. koefisien

Latihan 2

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Salah satu syarat polinomial, yaitu ....

A. variabel tidak boleh berupa bilangan

B. variabel tidak boleh berupa huruf

C. variabel boleh termasuk dalam fungsi trigonometri

D. variabel tidak boleh berpangkat negatif ataupun pecahan

E. variabel boleh berupa akar

Latihan 3

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Diketahui polinomial f(x) = x5 - 3x7 + 2x - 7x4 + 14. Derajat polinomial f(x) adalah ....

A. 1

B. 4

C. 5

D. 7

E. 14

Latihan 4

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Berikut ini yang merupakan polinomial adalah ....

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 5

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Koefisien-koefisien pada polinomial 3y- 5y - 10 + 15y - 6y2 jika ditulis dalam urutan turun adalah ....

A. -3, 10, -10

B. -6, 15, -10

C. -9, 10, -10

D. 6, 10, -10

E. 3, 10, 10

Latihan 6

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Suatu produk berbentuk kubus akan dikemas dan membutuhkan perlindungan bubble wrap setebal 8 cm untuk atas dan bawah serta 4 cm untuk samping-sampingnya. Volume kemasan produk tersebut adalah ....

A. x3 +16x2 +32x +128

B. x3 +16x2 +32x -128

C. x3 +16x2 -32x +128

D. x3 -16x2 +32x +128

E. x3 -16x2 -32x +128

Penjumlahan dan Pengurangan Polinomial

Operasi aljabar seperti penjumlahan dan pengurangan ternyata bisa lho dilakukan pada polinomial. Untuk menjumlah atau mengurang pada polinomial sobat pintar hanya perlu menjumlahkan atau mengurangkan antar koefisien suku-suku sejenis

Apasih yang dimaksud suku sejenis? Apakah x3 dan 3x suku-suku yang sejenis? 

Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang memiliki variabel berpangkat sama, jadi x3 dan 3x itu tidak sejenis yaa sobat. Contoh suku-suku sejenis adalah x4 dan 2x4 dimana kedua suku sama-sama memiliki variabel berpangkat 4.

Agar sobat pintar lebih paham kita coba ke contoh soal saja yaa.

Diketahui polinomial:
p(x) = 6x-8x+7x +10
q(x) = 10x+11x -12
Berapakah hasil penjumlahan dan pengurangan polinomial p(x) dan q(x)?

Pembahasan:
Penjumlahan polinomial p(x) dan q(x)
p(x) + q(x) = (6x4 -8x2 +7x +10) + (10x2 +11x -12) 
p(x) + q(x) = 6x4 +(-8x2 +10x2) +(7x +11x) +(10 -12) 
p(x) + q(x) = 6x4 +(-8 +10)x2 +(7 +11)x +(-2) 
p(x) + q(x) = 6x4 +2x2 +18x -2 

Pengurangan polinomial p(x) dan q(x)
p(x) - q(x) = (6x4 -8x2 +7x +10) - (10x2 +11x -12) 
p(x) - q(x) = 6x4 -8x2 +7x +10 -10x2 -11x +12 
p(x) - q(x) = 6x4 +(-8x2 -10x2) +(7x -11x) +(10 +12) 
p(x) - q(x) = 6x4 +(-8-10)x2 +(7-11)x +22 
p(x) - q(x) = 6x4 -18x2 -4x +22 

Perkalian Polinomial

Selain penjumlahan dan pengurangan, operasi perkalian juga bisa diterapkan pada polinomial.

Perkalian polinomial dapat dilakukan dengan menggunakan sifat distributif seperti pada aljabar. Agar lebih jelas sobat pintar bisa memperhatikan penjelasan berikut.

Secara umum, perkalian polinomial adalah sebagai berikut

(axm +bx(m-1) + ...)g(x) = axmg(x) +bx(m-1)g(x) + ...

Agar lebih jelas lagi kita lanjutkan ke contoh soal berikut
Diketahui polinomial:
f(x) = x2 +x +1 
g(x) = 4x3 -x +1 
Tentukan f(x)·g(x)!

Pembahasan:
f(x)·g(x) = (x2 +x +1)(4x3 -x +1)
f(x)·g(x) = x2(4x3 -x +1) +x(4x3 -x +1)+ 1(4x3 -x +1)
f(x)·g(x) = 4x5 -x3 +x2 +4x4 -x2 +x +4x3 -x +1  
f(x)·g(x) = 4x5 +4x4 +(-x3 +4x3) +(x2 -x2) +(x-x) +1 
f(x)·g(x) = 4x5 +4x4 +3x3 +1 

Kesamaan Polinomial

Sobat pintar, yang akan dibahas kali ini adalah kesamaan polinomial sobat. 

Polinomial dikatakan sama jika kedua polinomial tersebut memiliki nilai yang sama untuk variabel x. 

Bingung? Sebenarnya mudah sobat, cukup perhatikan penjelasan berikut.

Misal:
f(x) = anxn +a(n-1)x(n-1) +a(n-2)x(n-2) + ... +a1x1 +a0 
g(x) = bnxn +b(n-1)x(n-1) +b(n-2)x(n-2) + ... +b1x1+b0 
f(x) equivalen g(x), ditulis

jika dan hanya jika setiap koefisien dari variabel yang berpangkat sederajat adalah sama, seperti
an=bn,   a(n-1)=b(n-1),   a(n-2)=b(n-2),   a1=b1,   a0=b0 

Masih bingung sobat? Perhatikan lagi contoh soal berikut yaa.
Diketahui polinomial Ax2 +Bx +C equivalen 7x2 -3x +2. Tentukan nilai A,B, dan C!

Pembahasan:

maka setiap koefisien dari variabel yang berpangkat sederajat sama, artinya
Koefisien x2: A=7 
Koefisien x: B=-3 
Konstanta: C=2 
Jadi, A=6,  B=-3,  C=2

Nilai Polinomial

Nilai polinomial sebenarnya sudah tidak asing bagi sobat pintar semua karena nilai polinomial tidak berbeda dengan nilai fungsi. 

Ada dua cara untuk mendapatkan nilai polinomial, yang pertama adalah metode substitusi yang pasti sudah sering kalian lakukan dan yang kedua adalah skema horner.

Metode Substitusi

Misal polinomial f(x)=anxn +a(n-1)x(n-1) +a(n-2)x(n-2) + ... +a1x1 +a0
maka nilai polinomial untuk x=k adalah f(k)=ankn +a(n-1)k(n-1) +a(n-2)k(n-2) + ... +a1k1 +a0

Contohnya: 
Jika f(x)=2x2 -x +5. Nilai f(x) untuk x=3 adalah ....

Pembahasan:
f(x)=2x2 -x +5 
f(3)=2(3)2 -3 +5 
f(3)=2(9) +2 
f(3)=18 +2 =20 

Skema Horner

Misal polinomial f(x)=a3x3 +a2x2 +a1x +a0, akan ditentukan nilainya untuk x=k, maka bisa disusun seperti berikut

Contohnya: 
Jika f(x)=3x3 +2x2 -x +4. Nilai f(x) untuk x=3 adalah ....

Pembahasan:

Jadi, nilai f(3)=100

Latihan 1

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Diketahui f(x) = x+ x- 3x+ 10x+ 8x + 1 dan g(x) = x+ x- 2x+ 18x - 10. Nilai dari f(x)+g(x) adalah ....

A. 2x5 + 2x4 - 3x3 + 8x2 + 16x - 9

B. 2x5 + x4 - x3 + 8x2 + 16x - 9

C. x5 + 2x4 - 3x3 + 8x2 + 16x - 19

D. 12x5 + 2x4 - 3x3 + 18x2 + 16x - 9

E. 3x5 + 2x4 - 3x3 + 8x2 + 16x - 8

Latihan 2

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Diberikan suku banyak f(x) = 5x3 - 3x2 + 2x + 9 dan g(x) = -2x3 + 2x2 - 3x + 1, suku berpangkat tertinggi dari f(x) - g(x) adalah....

A. 8x3

B. 7x3

C. 6x3

D. 5x3

E. 3x3

Latihan 3

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Koefisien x2 dari perkalian dua polinomial berikut (x2 - 3x + 5)(x - 7) adalah ....

A. 10

B. 8

C. -8

D. -9

E. -10

Latihan 4

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Nilai A·B yang memenuhi kesamaan Ax2 +7x +5B equivalen 2x2 +7x -15 adalah ....

A. -7

B. -6

C. 0

D. 6

E. 7

Latihan 5

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

A. -2

B. -1

C. 0

D. 1

E. 2

Latihan 6

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Salah satu metode yang digunakan untuk menentukan nilai polinomial adalah ....

A. metode Horner

B. metode eliminasi

C. metode pemfaktoran

D. teorema Pythagoras

E. metode campuran

Latihan 7

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Diketahui f(x) = x3 – 3x2 + 7. Jika x = 5, maka nilai dari f(5) adalah ....

A. 43

B. 50

C. 57

D. 64

E. 75

Latihan 8

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Diketahui f(h) = h3 – 2h2 – 3h + 5. Jika h = 2, maka nilai dari f(h) adalah ....

A. -2

B. -1

C. 0

D. 1

E. 2

Pembagian Polinomial

Sobat pintar pasti sudah biasa untuk membagi bilangan dengan cara diatas, nah sekarang bagimana yaa kalau pembagiannya bukan sekedar bilangan, melainkan polinomial. 

Ada dua cara untuk menyelesaikan pembagian polinomial sobat, pertama dengan cara diatas atau biasa disebut cara bersusun dan yang kedua dengan cara horner. 

Sebelum membagi polinomial mari kita ulas kembali pembagian. Pembagian secara umum dapat ditulis:

Bilangan yang dibagi = (pembagi × hasil bagi) + sisa

Pada polinomial juga berlaku hal yang sama, misal polinomial f(x) dibagi oleh p(x) menghasilkan h(x) dan sisanya s(x), maka dapat ditulis:

f(x)=p(x)·h(x) +s(x) 

 

Pembagian polinomial oleh bentuk linear (mx+n)

Misal polinomial f(x) dibagi (mx+n) maka dapat ditulis

Agar sobat pintar tidak bingung dengan penjelasan barusan, sobat pintar perhatikan contoh soal berikut.

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari (3x4 –5x3 +7x2 +5x +2) : (3x+1)

Cara bersusun

Cara Horner


 

Pembagian polinomial oleh bentuk kuadrat (ax2+bx+c) dengan a bukan nol

Pada pembagian ini cara horner hanya bisa dipakai jika pembaginya bisa difaktorkan. Misal polinomial f(x) dibagi (ax2+bx+c) dengan a bukan 0, maka langkah penyelesaian cara horner adalah

Untuk mempermudah sobat pintar dalam memahami penjelasan diatas sobat pintar bisa menyimak contoh soal berikut.

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari polinomial f(x)=x4 –3x2 +2x –1 oleh x2 –x –2

Cara bersusun

Cara Horner

Pembagi x2 –x –2 difaktorkan menjadi (x–2)(x+1), artinya k1=2, k2=–1, dan a=1

Teorema Sisa

Teorema sisa untuk pembagi bentuk linear (mx+n)

Agar pemahaman sobat lebih mantap, kita coba pada contoh soal berikut

Sisa pembagian jika polinomial f(x)=2x3 –x2 +x –2 dibagi oleh 2x–1 adalah ....

Pembahasan:

 

Teorema sisa untuk pembagi bentuk (x–a)(x–b)

Sisa pembagian polinomial f(x) oleh (x–a)(x–b) adalah s(x)=px+q, dengan f(a)=ap+q dan f(b)=bp+q

Bukti:

Derajat (x–a)(x–b) adalah 2, maka sisa pembagiannya haruslah berderajat 1, yaitu s(x)=px+q sehingga diperoleh:
f(x)=(x–a)(x–b)h(x) +s(x) 
f(x)=(x–a)(x–b)h(x) +px +q 

Untuk x=a, maka
f(a)=(a–a)(a–b)h(x) +pa+q 
f(a)=(0)(x–b)h(x) +ap+q 
f(a)=ap+q 

Untuk x=b, maka
f(b)=(b–a)(b–b)h(x) +pb+q 
f(b)=(b–a)(0)h(x) +bp+q 
f(b)=bp+q 

Terbukti, sisa=s(x)=px+q dengan f(a)=ap+q dan f(b)=bp+q

Agar sobat pintar tidak bingung kita coba contoh soal berikut yuk

Polinomial f(x) jika dibagi (x+2) sisanya 12 dan jika dibagi (x–3) sisanya –3. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh (x+2)(x–3)!

Pembahasan:

Misal sisa pembagian dari f(x) dibagi oleh (x+2)(x–3) adalah s(x)=px+q, maka sesuai teorema
f(–2)=–2p+q 
f(3)=3p+q 

Namun pada soal diketahui jika f(x) dibagi (x+2) sisanya 12 dan jika f(x) dibagi (x–3) sisanya –3 maka
f(–2)=–2p+q=12 
f(3)=3p+q=–3 

Kita eliminasi
–2p+q=12 
3p+q=–3 
–5p=15 
p=–3 

Substitusi nilai p ke salah satu persamaan
3(–3)+q=–3 
–9+q=–3 
q=6 

s(x)=–3x+6 

Jadi, sisa pembagian dari f(x) dibagi (x+2)(x–3) adalah –3x+6

Teorema Faktor

Sobat pintar pasti sudah mengetahui apa itu faktor, contohnya faktor dari 12 ada 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. 

Bilangan-bilangan ini berarti jika 12 dibagi dengan salah satu bilangan tersebut maka sisa pembagiannya akan sama dengan nol. Dari sini bisa didapatkan teorema faktor sebagai berikut.

Suatu polinomial f(x) memiliki faktor (mx+n) jika dan hanya jika f(–n/m)=0

Bukti:

Untuk memperdalam pemahaman tentang teorema faktor, sobat pintar sebaiknya simak contoh soal berikut.
Tentukan nilai p sehingga f(x)=x3 –x2 +px –15 memiliki faktor (x–3).

Pembahasan:

Karena (x–3) merupakan faktor dari f(x), maka sesuai dengan teorema faktor f(3)=0, sehingga:
f(3)=0 
33 –32 +p(3) –15=0 
27 –9 +3p –15=0 
3p –3=0 
3p=–3 
p=–1 

Jadi, nilai p yang sesuai adalah –1

Latihan 1

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Hasil pembagian P(x) = x4 - 3x2 - 1) oleh (x - 3) adalah ....

A. x3 + 3x2 - 4x + 10

B. x3 + 3x2 - 16x + 18

C. 2x3 + 3x2 - 6x + 18

D. x3 + 3x2 - 6x + 18

E. 2x3 + 3x2 - 6x + 8

Latihan 2

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Suku banyak x3 - 2x + 3 dibagi oleh x + 4, sisanya adalah ....

A. -59

B. -53

C. 50

D. 53

E. 59

Latihan 3

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Hasil bagi polinomial 8x4+4x3+2x2-9x-6 oleh (2x2-3x+5) adalah ....

A. 4x2+16x-6

B. 4x2+8x+3

C. 4x2+8x-3

D. 4x2-8x+3

E. 4x2-8x-3

Latihan 4

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Hasil bagi dan sisa pembagian jika polinomial f(x)=x4–3x3–5x2+x–6 dibagi oleh x2–x–2 berturut–turut adalah ....

A. x2+2x+5 dan -8x-16

B. x2-2x+5 dan 8x+16

C. x2-2x-5 dan -8x+16

D. x2+2x+5 dan -8x+16

E. x2-2x-5 dan -8x-16

Latihan 5

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Jika suku banyak f(x) = x4 + 3x3 - 5x + 6 dibagi oleh (x - 2) maka sisanya adalah ....

A. 15

B. 30

C. 36

D. 40

E. 44

Latihan 6

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Jika suku banyak f(x) = x4 + 3x3 + x2 - (p+1)x + 1 dibagi oleh (x - 2) sisanya adalah 35. Nilai p adalah ....

A. 1

B. 2

C. 4

D. 8

E. 10

Latihan 7

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Suatu suku banyak f(x) dibagi (x+2) sisanya -1 dan jika dibagi (x-1) sisanya 2, maka f(x) jika dibagi (x2+x-2) adalah ....

A. x–1

B. x+1

C. x+2

D. x+3

E. x+6

Latihan 8

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Suku banyak f(x) = 3x3 - 13x2 + 8x + 12 dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian faktor-faktor linearnya menjadi ....

A. f(x)=(x-2)(3x+2)(x-3)

B. f(x)=(x-2)(3x-2)(x-3)

C. f(x)=(x-2)(3x-2)(x+3)

D. f(x)=(x+2)(3x+2)(x-3)

E. f(x)=(x+2)(3x+2)(x+3)

Latihan 9

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Salah satu faktor dari (2x+ px- 10x - 24) adalah (x+4). Faktor-faktor lainnya adalah ....

A. (2x+3)(x+2)

B. (2x-3)(x-2)

C. (2x+3)(x-2)

D. (x+3)(x-2)

E. (x+2)(3x-2)

Akar-Akar Rasional

Sepanjang pembahasan polinomial kita selalu menuliskan polinomial dalam bentuk f(x), kali ini kita akan menuliskannya dalam bentuk persamaan, tahukah sobat pintar bagaimana bentuk dari persamaan polinomial?

Bentuk umum persamaan polinomial dengan variabel x dapat dituliskan sebagai berikut.

anxn+a(n–1)x(n–1)+a(n–2)x(n–2)+ ... +a2x2+a1x+a0=0 

Dengan an tidak 0 dan n bilangan asli

Sama halnya seperti persamaan kuadrat, persamaan polinomial juga memiliki akar-akar persamaan rasional. Untuk persamaan polinomial berderajat dua akar–akar persamaannya bisa dicari dengan cara yang sama dengan mencari akar-akar persamaan kuadrat. Namun, untuk mencari akar-akar rasional dari persamaan polinomial berderajat lebih dari dua harus melewati langkah-langkah berikut:

Untuk memahami diagram diatas sebaiknya kita langsung mencoba ke contoh soal

Temukan seluruh akar-akar rasional dari persamaan polinomial x4–15x2–10x+24=0

Langkah 1: Selidiki f(1)=14–15(1)3–10(1)+24=1–15–10+24=0, artinya x=1 merupakan akar persamaan,

Untuk mencari akar yang lain, kita bisa gunakan cara horner berikut untuk mendapatkan hasil bagi

Hasil bagi pembagian diatas adalah h(x)=x3+x2–14x–24

Langkah 1 pada hasil bagi h(x): Selidiki h(1)=13+12–14(1)–24=1+1–14–24=–36, artinya x=1 bukan merupakan akar persamaan

Langkah 2 pada hasil bagi h(x): Selidiki h(–1)=(–1)3+(–1)2–14(–1)–24=–1+1+14–24=–10, artinya x=–1 bukan merupakan akar persamaan

Langkah 3 pada hasil bagi h(x): nilai mutlak a0=|a0|=|–24|=24. Faktor dari 24 adalah ±1,±2,±3,±4,±6,±8,±12, dan ±24. Karena x=±1 bukan merupakan akar, maka x=±1 tidak perlu dicoba lagi

Karena sisa =0 maka x=–2 merupakan akar dari h(x)=0 dengan hasil bagi x2–x–12,

Untuk mencari akar yang lain, kita bisa memfaktorkan x2–x–12=0 sebagai berikut
x2–x–12=0 
(x–4)(x+3)=0 
x=4 atau x=–3

Jadi, akar–akar rasional dari persamaan x4–15x2–10x+24=0 adalah –3,–2,1, dan 4

Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Polinomial

Untuk mendapatkan jumlah dan hasil kali dari akar–akar persamaan polinomial sobat pintar tidak perlu mencari setiap akar–akar persamaan lalu dijumlah atau dikalikan, karena sudah ada teorema Vieta yang berbunyi seperti berikut:

Bagi sobat pintar yang bingung dengan teorema Vieta di atas bisa lihat contoh soal berikut, karena sebenarnya mudah lhoo.

Contoh soal:

Akar–akar persamaan polinomial 5x3–10x2+2x+3=0 adalah x1,x2, dan x3. Tentukan nilai dari x1x2+x1x3+x2x3!

Pembahasan:

Latihan 1

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Jika salah satu akar persamaan polinomial x4-5x3+ax+4=0 adalah -2, nilai a= ....

A. 30

B. 20

C. 10

D. -10

E. -30

Latihan 2

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Akar-akar persamaan polinomial x3-3x2-6x+8=0 adalah ....

A. 1, 2, dan 4

B. 1, 2, dan -4

C. 1, -2, dan 4

D. 1, -2, dan -4

E. -1, 2, dan 4

Latihan 3

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Jumlah akar-akar dari persamaan 3x3+4x2-4x=0 adalah ....

A. 4

B. 4/3

C. 0

D. -3/4

E. -4/3

redesain-navbar Portlet