redesain-navbar Portlet

BelajarPintarV3

Peta Belajar Bersama

Halo, Sobat Pintar!

Sebelum kita mempelajari tentang DISTRIBUSI PELUANG, coba perhatikan Peta Belajar Bersama berikut ya!

Yuk, kita mulai belajar Bersama!

 

Konsep Variabel Acak


Halo Sobat Pintar! Ada yang tau sebelumnya apa itu variabel?

Nah variabel merupakan suatu besaran yang memiliki nilai tidak tunggal, misalnya bilangan asli kurang dari 10, bilangan bulat kurang dari 3, dan waktu tempuh kendaraan.

Jenis variabel ada dua yaitu variabel diskrit dan variabel kontinu.

Variabel diskrit memiliki nilai-nilai yang dapat dihitung, sedangkan variabel kontinu memiliki nilai-nilai yang tidak dapat dihitung.

Variabel acak merupakan variabel yang nilainya ditentukan oleh hasil percobaan, Variabel acak pun sama ada variabel acak diskrit dan ada variabel acak kontinu.

  • Variabel acak diskrit diperoleh dari hasil menghitung/membilang, nilainya berupa bilangan bulat
  • Variabel acak kontinu diperoleh dari hasil mengukur dan nilainya berupa bilangan riil.

Contoh soal:

1. Widi melakukan pelemparan sebuah dadu satu kali. Hasil yang mungkin diperoleh Widi adalah....
Pembahasan:
Misalkan X = mata dadu yang muncul sehingga dapat anda nyatakan bahwa X = {1,2,3,4,5,6}.


2. Irwan melemparkan satu keping uang logam sebanyak dua kali. Irwan mengamati banyak hasil angka yang diperoleh adalah….
Pembahasan:
Misalkan X = banyak hasil angka yang diperoleh sehingga X = {0, 1,2}

Fungsi Probabilitas

Distribusi peluang variabel acak diskrit

Nilai pada variabel acak diskrit memiliki peluang.

Peluang nilai variabel acak X dinotasikan dengan f(x)=P(X=x).

Bentuk penyajian peluang nilai-nilai variabel acak diskrit disebut dengan distribusi peluang variabel acak

Distribusi peluang dapat dinyatakan dalam bentuk tabel, grafik, atau fungsi. 

Distribusi peluang disebut juga distribusi probabilitas atau fungsi peluang atau fungsi probabilitas.

Contoh soal:

Diana melakukan pelemparan sebuah dadu. Variabel X menyatakan mata dadu yang muncul.

Pembahasan:
X = mata dadu yang muncul sehingga dapat dinyatakan X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

  • Peluang diperoleh hasil mata dadu 1 yaitu f(1)= P (X=1) = 1/6
  • Peluang diperoleh hasil mata dadu 2 yaitu f(2)= P (X=2) = 1/6
  • Peluang diperoleh hasil mata dadu 3 yaitu f(3)= P (X=3) = 1/6
  • Peluang diperoleh hasil mata dadu 4 yaitu f(4)= P (X=4) = 1/6
  • Peluang diperoleh hasil mata dadu 5 yaitu f(5)= P (X=5) = 1/6
  • Peluang diperoleh hasil mata dadu 6 yaitu f(6)= P (X=6) = 1/6


Distribusi peluang kumulatif variabel acak diskrit

Peluang variabel acak X yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai x, ditulis dengan F(x) = P (X=x)

Nilai F(x) tersebut dinamakan peluang kumulatif. 

Misalkan x = c merupakan salah satu nilai variabel acak X yang memiliki peluang F(x), maka nilai F(c) dinyatakan dengan :



Contoh soal:

Farhan melakukan pelemparan sebuah dadu. Variabel X menyatakan mata dadu yang muncul. Tentukan nilai dari
a. F(1)
b. F(3)
c. F(5)

Pembahasan:
Ruang sampel dari pelemparan sebuah dadu adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
X = mata dadu yang muncul sehingga dapat dinyatakan X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
a. F(1) = P(X < 1) = f(1) = 1/6
b. F(3) = P(X < 3) = f(1) + f(2) + f(3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2
c. F(5) = P(X < 5) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6

Sifat-Sifat Distribusi Peluang

Misalkan x adalah variabel acak diskrit yang bernilai x1,x1,x1,…,x1 dan f(x1) merupakan peluang nilai-nilai variabel acak X dengan i=1,2,3,4,…,n maka f(x1) memenuhi dua sifat berikut:


 

Fungsi Distribusi Binomial

Variabel Acak Binomial

Variabel acak binomial merupakan variabel acak yang nilai-nilainya ditentukan oleh hasil percobaan binomial. 
Beberapa syarat pada percobaan binomial sebagai berikut:

  1. Percobaan dilakukan berulang-ulang.
  2. Percobaan bersifat saling bebas atau dengan pengembalian. Hasil percobaan yang satu tidak mempengaruhi hasil percobaan yang lain.
  3. Setiap percobaan memiliki dua macam kejadian yaitu kejadian yang diharapkan disebut sukses dan kejadian yang tidak diharapkan disebut gagal.
  4. Peluang setiap kejadian tetap dalam setiap percobaan.

Percobaan binomial dapat diamati melalui percobaan pelambungan uang logam.

 
Perhatikan contoh berikut!

Raka melambungkan sekeping uang logam sebanyak 3 kali. Pada setiap pelemparan dilakukan pencatatan terhadap sisi angka. Percobaan ini merupakan percobaan binomial dengan alasan sebagai berikut:

  1. Percobaan dilakukan secara berulang-ulang.
  2. Percobaan saling bebas.
  3. Percobaan memiliki dua macam ekjadian yaitu keluar sisi angka atau keluar sisi gambar.

Karena uang logam dilambungkan lagi, maka peluang sisi angka dalam setiap percobaan selalu sama yaitu 1/2.

 

Fungsi Distribusi Binomial

Telah dibahas tadi bahwa setiap percobaan memiliki dua macam kejadian yaitu sukses dan gagal.

Oleh karena itu jumlah peluang kedua kejadian dalam setiap percobaan akan sama dengan satu karena nilai yang berimbang. 

Peluang nilai-nilai variabel acak binomial dapat disusun dalam bentuk tabel atau grafik sehingga diperoleh distribusi peluang variabel acak binomial. 

Distribusi peluang variabel acak binomial disebut distribusi binomial. Peluang suatu nilai variabel acak binomial dinamakan peluang binomial. 

Secara umum rumus peluang binomial x kejadian yang diharapkan dari percobaan binomial dinyatakan:

Contoh:

Irwan melakukan latihan tendangan penalti sebanyak 3 kali. Peluang sukses melakukan tendangan sebesar 4/5 . Peluang Irwan mencetak tepat dua gol adalah….

Penyelesaian:
p = peluang sukses mencetak gol, maka p = 4/5
q = peluang gagal mencetak gol, maka q = 1 – p = 1 – 4/5 = 1/5

Tanpa rumus distribusi binomial: 
Misalkan M = tendangan masuk dan G = tendangan gagal 
Tepat mencetak dua gol yaitu MMG, MGM, GMM
1. Peluang hasil tendangan MMG maka peluangnya = 4/5 . 4/5 . 1/5 = 16/125
2. Peluang hasil tendangan MGM maka peluangnya = 4/5 . 1/5 . 4/5 = 16/125
3. Peluang hasil tendangan GMM maka peluangnya = 1/5 . 4/5 . 4/5 = 16/125

Jadi, peluang Irwan mencetak tepat dua gol yakni 16/125 + 16/125 + 16/125 = 48/125 = 0,384


Menggunakan rumus distribusi binomial: 
n = 3 
x = 2 
p = 4/5 
q = 1/5 

 

Fungsi Distribusi Binomial Kumulatif

Peluang paling banyak x kejadian yang diharapkan dinamakan fungsi distribusi binomial kumulatif. 

Misalkan x = t, maka peluang paling banyak t kejadian yang diharapkan dinyatakan dengan:

Contoh:

Rudi melakukan latihan tendangan penalti sebanyak tiga kali. Peluang sukses melakukan tendangan sebesar 4/5. Peluang Rudi mencetak paling banyak satu gol adalah….

Penyelesaian:
p = peluang sukses melakukan gol = 4/5 
q = peluang gagal mencetak gol = 1/5

Tanpa rumus distribusi binomial:
Misalkan M = tendangan masuk dan G = tendangan gagal 
Mencetak paling banyak satu gol MGG, GMG, GGM, GGG 
1) Peluang hasil tendangan MGG maka peluangnya = 4/5 .1/5 .1/5 = 4/125 
2) Peluang hasil tendangan GMG maka peluangnya = 1/5 .4/5 .1/5 = 4/125 
3) Peluang hasil tendangan GGM maka peluangnya = 1/5 .1/5 .4/5 = 4/125 
4) Peluang hasil tendangan GGG maka peluangnya = 1/5 .1/5 .1/5  = 1/125 
Jadi, peluang Rudi mencetak tepat dua gol yaitu 4/125 + 4/125 + 4/125 + 1/125 = 13/125 = 0,104

Menggunakan rumus distribusi binomial: 
n = 3 
x = 1 
p = 4/5 
q = 1/5 
Karena diharapkan mencetak paling banyak satu gol artinya bisa 0 gol atau 1 gol.



Latihan 1

Kerjakan soal berikut dengan benar!

Hammas mengerjakan 6 soal matematika. Variabel acak X menyatakan banyak soal yang dikerjakan dengan benar. Hasil yang mungkin untuk X adalah….

A. (0,1,2,3,4,5,6)

B. (1,2,3,4,5,6)

C. (0,1,2,3,4,5)

D. (0,6)

E. (6)

Latihan 2

Kerjakan soal berikut dengan benar!

Udin mengerjakan 10 soal dengan pilihan jawaban benar dan salah. Peluang Udin menjawab dengan benar sebanyak 6 soal adalah….

A. 0,1816

B. 0,2051

C. 0,2672

D. 0,3145

E. 0,3264

Distribusi Peluang Acak Kontinu


Variabel Acak Kontinu

Sobat pintar sebelumnya sudah tau kan soal variabel acak diskrit?

Berbeda dengan variabel acak diskrit variabel acak kontinu menggunakan bilangan riil untuk menyatakan hasil suatu percobaan. 

Variabel acak kontinu diperoleh dari hasil mengukur dan nilainya berupa bilangan riil. 

Nilai-nilai variabel acak kontinu jika digambarkan pada garis interval berupa deretan titik-titik yang saling tersambung membentuk garis. 

Sebagai contoh hasil pengukuran tinggi badan, hasil pengukuran suhu tubuh, dan lain-lain.

Contoh:
Pada suatu kelas yang beranggotakan 35 siswa dilakukan pengukuran tinggi badan siswa. Dari data hasil pengukuran tinggi badan tersebut diperoleh tinggi badan siswa tertinggi yaitu 175 cm dan terpendek 150 cm. Tentukan variabel acak yang menyatakan hasil pengukuran tinggi badan tersebut!

Pembahasan:
Tinggi badan siswa tertinggi adalah 175 cm dan terpendek adalah 150 cm.
Jika tinggi badan siswa dinyatakan dalam t maka nilainya adalah 150 < t < 175.
Variabel acak t menyatakan tinggi badan siswa. maka T = {t| 150 < t < 175 }.

Distribusi Peluang Variabel Acak Kontinu

Variabel acak kontinu berupa interval bilangan pada garis bilangan riil.

Keempat syarat tersebut harus terpenuhi ya! Jika salah satu dari empat syarat tersebut tidak terpenuhi maka fungsi peluang variabel acak kontinu bukan merupakan fungsi f(x).

Contoh:

Pembahasan:

 

Distribusi Normal

Grafik Distribusi Normal

Pada suatu data frekuensi tertinggi biasanya berada di sekitar nilai rata-rata data (Mean).

Semakin jauh nilai data dari rata-rata (mean), frekuensinya akan semakin rendah. 

Misalkan rata-rata data µ sebaran data secara umum dapat digambarkan sebagai berikut:

Kurva di atas dikenal dengan nama kurva normal atau kurva lonceng karena bentuknya yang seperti lonceng. Persamaan dari kurva tersebut dinamakan fungsi distribusi normal atau distribusi Gauss. 

Fungsi distribusi normal dengan variabel acak X didefinisikan sebagai berikut:

Jika nilai rata-rata = 0 dan simpangan baku = 1 diperoleh distribusi normal baku (standar) yaitu N(0,1)

Rumus fungsi variabel acak Z yang berdistribusi normal baku adalah sebagai berikut:




Nilai Peluang Variabel Acak Berdistribusi Normal Baku N(0,1)

Luas daerah yang dibatasi kurva normal baku N(0,1) dan sumbu mendatar adalah 1.

Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut:

Grafik distribusi normal baku N(0,1) bersifat simetris terhadap garis Z = 0 maka luas daerah di kiri dan kanan garis Z adalah sama, yaitu:

Menghitung luas daerah di bawah kurva normal tidaklah mudah karena harus melakukan pengintegralan terhadap fungsi eksponen.

Misalnya integral berikut untuk menentukan luas daerah di bawah kurva normal baku pada interval Z kurang dari sama dengan z seperti tampak pada gambar di bawah ini:



Perubahan bentuk dari normal umum menjadi normal baku dilakukan dengan Langkah-langkah sebagai berikut:

  1. Cari Zhitung dengan rumus:
  2. Gambar kurvanya.
  3. Tuliskan nilai Zhitung pada sumbu x di kurva diatas dan tarik garis dari titik Zhitung ke atas sehingga memotong garis kurva.
  4. Luas yang terdapat dalam tabel merupakan luas daerah antara garis tegak ke titik 0 di tengah kurva.
  5. Carilah tempat nilai z dalam tabel normal.
  6. Luas kurva normal = 1, karena µ=0 , maka luas dari 0 ujung ke kiri = 0,5. Luas dari 0 ke titik kanan = 0,5.
  7. Luas daerah kurva normal dicari dengan menggunakan tabel kurva normal baku.

Contoh:



Pembahasan:


Dari tabel distribusi normal baku diperoleh luas daerah di bawah kurva normal baku pada interval Z kurang dari sama dengan 1,45 adalah 0,9265. Jadi luas daerah L1 adalah 0,9265.
 

Latihan 1

Kerjakan soal berikut dengan benar!

Luas daerah yang dibatasi kurva normal N(0,1) pada interval Z < -0,42 adalah….

A. 0,0567

B. 0,3372

C. 0,5832

D. 0,6628

E. 0,7939

Latihan 2

Kerjakan soal berikut dengan benar!

Dalam suatu perguruan tinggi diperoleh data distribusi berat badan 8500 orang mahasiswa, diketahui mendekati normal dengan mean 53 kg dan deviasi standar 3 kg. Berapa persentase banyak mahasiswa yang berat badannya antara 50 kg dan 55 kg?

A. 33,33%

B. 58,99%

C. 67,89%

D. 89,99%

E. 167,0%

redesain-navbar Portlet