Materi Matematika IPA - Permutasi dan Kombinasi Kelas Persiapan SBMPTN - Belajar Pintar
redesain-navbar Portlet
BelajarPintarV3

Permutasi dan Kombinasi
Akses Lebih Lengkap

Permutasi elemen yang sama dan berbeda
Hai sobat pintar ... kali ini kita akan belajar tentang teori permutasi bilangan.
Permutasi adalah susunan berurutan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan. Dalam permutasi perlu dipahami terlebih dahulu terkait faktorial. Hasil kali bilangan bulat dari 1 sampai n adalah n! (dibaca : n faktorial) atau :
n! = n x (n - 1) x (n - 2) x ... x 2 x 1
Contoh : 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Untuk menyelesaikan soal permutasi terdapat 4 metode yaitu:
1. Permutasi dari elemen yang berbeda
Permutasi elemen dari elemen yang ada (setiap elemen berbeda) adalah susunan elemen itu dalam suatu urutan yang diperhatikan. Jika (r > n) permutasinya :
nPr = n! / (n - r)!
Sehingga jika n = r, permutasinya nPr = n!
Sebagai ilustrasi: menyususn 3 elemen dari 3 huruf : a,b,c adalah a,b,c a,c,b b,c,a b,a,c c,a,b c,b,a dengan 3P3 = 3! = 6. Sedangkan menyusun 2 elemen dari 3 huruf adalah dengan 3P2 = 3! / (3 - 2)! = 3! = 6
2. Permutasi dengan beberapa elemen yang sama
Setiap unsur yang digunakan tidak boleh lebih dari satu kali. Banyak permutasi elemen n yang memuat elemen n1, n2, n3, ... , nr, dengan n1 + n2 + n3 .... nr adalah :
nP(n1, n2, n3, ... , nr) = n! / (n1! n2! ... nr!)
sebagai ilustrasi : ada 3 bola basket dan 2 bola kasti. Jumlah cara menyusunnya adalah :
p = n! / (n1! n2! ... nr!) = 6! / (3! 2!) = 6 x 5 x 4 x 3! / 3! x (2 x 1) = 60
Permutasi siklis dan permutasi berulang
Nah... sobat pintar, sebelumnya kita sudah mempelajari permutasi dengan elemen yang berbeda dan elemen yang sama, selanjutnya kita akan mempelajari tentang permutasi siklis dan permutasi berulang.
3. Permutasi siklis
Rumus permutasi siklis biasanya digunakan untuk menghitung banyak cara yang dapat dibuat dari susunan melingkar. Rumusnya adalah :
P(siklis) = (n - 1)!
sebagai ilustrasinya misal : bagaimana banyaknya cara 4 orang duduk melingkar dalam 1 meja makan adalah :
P(siklis) = (4 - 1)! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6
4. Permutasi berulang
Permutasi berulang adalah permutasi yang dalam penyusunannya urutan diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali (berulang). Banyaknya permutasi ini adalah :
P(berulang) = nr
sedangkan untuk rumus permutasi yang tidak boleh ditulis berulang adalah :
P(tidak berulang) = n! / (n - r)!
Latihan 1
Menjelang Pergantian kepengurusan BEM STMIK Tasikmalaya akan dibentuk panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua), calon panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada berapa pasang calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut?
A. 20
B. 30
C. 40
D. 50
E. 60
Latihan 2
Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu!
A. 180 cara
B. 200 cara
C. 210 cara
D. 220 cara
E. 250 cara
Latihan 3
Ada berapa cara 5 gelas warna yang mengitari meja kecil, dapat menempati kelima tempat dengan urutan yang berlainan?
A. 18 cara
B. 20 cara
C. 22 cara
D. 24 cara
E. 26 cara
Pengertian Kombinasi
Setelah kita belajar teori tentang permutasi, kita beralih ke teori tentang kombinasi.
Kombinasi adalah pengelompokan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan tanpa memperhatikan urutan susunan pemilihannya. Banyaknya kombinasi adalah :
nCr = n! / r! (n-r)!
Sebagai ilustrasi : kombinasi 2 elemen dari 3 huruf a,b,c adalah ab, ac, bc . Sedangkan ba, ca, cb tidak termasuk hitungan karena pada kombinasi ab=ba, ac=ca, bc=cb. Banyak kombinasi adalah :
3C2 = 3! / 2! (3-2)! = 3!/2! = 3 x 2 x 1 / 2 x 1 = 3
bagaimana sobat pintar, mudah ya... ?!
Binom Newton
Binom Newton berhubungan dengan bentuk :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + a2b + ab2 + b3
... dst
Dimana suku ke-r dari bentuk tersebut adalah :
Suku ke-r = nCr-1 . an-r+1 . br-1 sebagai ilustrasinya :
berapa koefisien dari x27 dari (x2 + 2x)15 adalah ....
nCr-1 . an-r+1 . br-1 = 15Cr-1 . (x2)15-r+1 . (2x)r-1
= 15Cr-1 . (x30-2r+2 ). (2x)r-1
agar x berpangkat 27 dibuat :
27 = (30 - 2r - 2) + (r -1) maka r = 4
sehingga suku ke - 4 = 15C3 . x24 . 8x3 = 15C3 8x27 = 15!/(12! 3!) 8x27 = 3640x27
maka koefisiennya : 3640
Perbedaan Permutasi dan Kombinasi
Perbedaan Masalah Permutasi dan Kombinasi
Setelah mengetahui dua rumus tentang permutasi dan kombinasi, hal yang tidak kalah penting adalah membedakan permasalahan yang termasuk dalam permutasi atau kombinasi. Permasalahan yang sering muncul berupa soal cerita dan kita dituntut agar bisa membedakan masalah tersebut termasuk dalam permutasi atau kombinasi. Sehingga, tidak terjadi kesalahan dalam menggunakan rumus untuk menyelesaikan masalah tersebut. Perhatikan dua contoh kasus berikut.
Kasus pertama:
Permasalahan permutasi
Susunan panitia yang terdiri atas ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara akan dibentuk untuk mensukseskan suebuah acara. Susunan panitia tersebut akan dipilih dari 10 orang terpilih berdasarkan kriteria yang telah ditentukan. Berapakah banyaknya susunan panitia yang dapat dibentuk?
Kasus ke dua:
Permasalahan kombinasi
Enam buku akan dipilih dari lima buku Matematika, tiga buku Fisika, dan empat buku Kimia untuk disumbangkan ke sekolah untuk anak jalanan. Berapakah banyaknya cara yang dapat dilakukan untuk memilih enam buku tersebut?
Coba perhatikan penjelasan berikut !
Pada kasus pertama, susunan urutan menjadi bagian yang perlu diperhatikan. Kedudukan ketua untuk orang pertama tentu akan berbeda dengan ketua yang ditempati oleh orang ke tiga. Begitu juga dengan kududukan untuk posisi lainnya.
Sedangkan pada contoh kasus kedua, pemilihan buku pada urutan pertama dan kedua misalnya adalah buku Matematika pertama dan buku Matematika ke dua, keduanya merupakan buku Matematika. Sehingga, urutan tidak dipehatikan. Intinya, rumus permutasi digunakan untuk permasalahan yang memperhatikan urutan. Sedangkan kombinasi digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang tidak memperhatikan urutan.
Bagaimana sobat pintar, sudah paham yaa sekarang perbedaan kasus permutasi dan kombinasi. Tetap semangat belajar sobat pintar!
Latihan 1
Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi ?
A. 20
B. 25
C. 45
D. 40
E. 50
Latihan 2
Siswa diminta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan, tetapi soal 1 - 5 wajib dikerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid adalah ....
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
E. 4
Materi Matematika IPA SMA - Persiapan SBMPTN Lainnya

Persamaan Kuadrat
0 Sub Bab Materi

Fungsi Kuadrat
0 Sub Bab Materi

Pertidaksamaan
0 Sub Bab Materi

Program Linier
0 Sub Bab Materi

Relasi dan Fungsi
0 Sub Bab Materi

Statistika
0 Sub Bab Materi

Limit dan Deferensial
0 Sub Bab Materi

Eksponen dan Logaritma
0 Sub Bab Materi

Barisan dan Deret
0 Sub Bab Materi

Sistem Persamaan Linier
0 Sub Bab Materi

Permutasi dan Kombinasi
0 Sub Bab Materi

Logika
0 Sub Bab Materi

Antar Ruang Lingkup
0 Sub Bab Materi

Bangun Ruang
0 Sub Bab Materi
footer_v3

Bersama Aku Pintar temukan jurusan kuliah yang tepat
sesuai minat dan bakatmu.
Aku Pintar adalah perusahaan teknologi informasi yang bergerak dibidang pendidikan, nama perusahaan kami adalah PT. Aku Pintar Indonesia
Kontak Kami
Grand Slipi Tower Lt. 42
Jl. S. Parman Kav 22-24
Jakarta Barat
© 2022 Aku Pintar. All Rights Reserved
redesain-navbar Portlet