redesain-navbar Portlet

BelajarPintarV3

Permutasi elemen yang sama dan berbeda

Hai sobat pintar ... kali ini kita akan belajar tentang teori permutasi bilangan.

Permutasi adalah susunan berurutan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan. Dalam permutasi perlu dipahami terlebih dahulu terkait faktorial. Hasil kali bilangan bulat dari 1 sampai n adalah n! (dibaca : n faktorial) atau :

n! = n x (n - 1) x (n - 2) x ... x 2 x 1

Contoh : 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Untuk menyelesaikan soal permutasi terdapat 4 metode yaitu:

 

1. Permutasi dari elemen yang berbeda

Permutasi elemen dari elemen yang ada (setiap elemen berbeda) adalah susunan elemen itu dalam suatu urutan yang diperhatikan. Jika (r > n) permutasinya :

nPr = n! / (n - r)!

Sehingga jika n = r, permutasinya nPr = n!

Sebagai ilustrasi: menyususn 3 elemen dari 3 huruf : a,b,c adalah a,b,c a,c,b b,c,a b,a,c c,a,b c,b,a dengan 3P3 = 3! = 6. Sedangkan menyusun 2 elemen dari 3 huruf adalah dengan 3P2 = 3! / (3 - 2)! = 3! = 6

2. Permutasi dengan beberapa elemen yang sama

Setiap unsur yang digunakan tidak boleh lebih dari satu kali. Banyak permutasi elemen n yang memuat elemen n1, n2, n3, ... , nr, dengan n1 + n2 + n3 .... nr adalah :

nP(n1, n2, n3, ... , nr) = n! / (n1! n2! ... nr!)

sebagai ilustrasi : ada 3 bola basket dan 2 bola kasti. Jumlah cara menyusunnya adalah :

p = n! / (n1! n2! ... nr!) = 6! / (3! 2!) = 6 x 5 x 4 x 3! / 3! x (2 x 1) = 60

Permutasi siklis dan permutasi berulang

Nah... sobat pintar, sebelumnya kita sudah mempelajari permutasi dengan elemen yang berbeda dan elemen yang sama, selanjutnya kita akan mempelajari tentang permutasi siklis dan permutasi berulang.

 

3. Permutasi siklis

Rumus permutasi siklis biasanya digunakan untuk menghitung banyak cara yang dapat dibuat dari susunan melingkar. Rumusnya adalah :

P(siklis) = (n - 1)!

sebagai ilustrasinya misal : bagaimana banyaknya cara 4 orang duduk melingkar dalam 1 meja makan adalah :

P(siklis) = (4 - 1)! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

 

4. Permutasi berulang

Permutasi berulang adalah permutasi yang dalam penyusunannya urutan diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali (berulang). Banyaknya permutasi ini adalah :

P(berulang) = nr

sedangkan untuk rumus permutasi yang tidak boleh ditulis berulang adalah :

P(tidak berulang) = n! / (n - r)!

Latihan 1

Menjelang Pergantian kepengurusan BEM STMIK Tasikmalaya akan dibentuk panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua), calon panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada berapa pasang calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut?

A. 20

B. 30

C. 40

D. 50

E. 60

Latihan 2

Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu!

A. 180 cara

B. 200 cara

C. 210 cara

D. 220 cara

E. 250 cara

Latihan 3

Ada berapa cara 5 gelas warna yang mengitari meja kecil, dapat menempati kelima tempat dengan urutan yang berlainan?

A. 18 cara

B. 20 cara

C. 22 cara

D. 24 cara

E. 26 cara

Pengertian Kombinasi

Setelah kita belajar teori tentang permutasi, kita beralih ke teori tentang kombinasi.

Kombinasi adalah pengelompokan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan tanpa memperhatikan urutan susunan pemilihannya. Banyaknya kombinasi adalah :

nCr = n! / r! (n-r)!

Sebagai ilustrasi : kombinasi 2 elemen dari 3 huruf a,b,c adalah ab, ac, bc . Sedangkan ba, ca, cb tidak termasuk hitungan karena pada kombinasi ab=ba, ac=ca, bc=cb. Banyak kombinasi adalah :

3C2 = 3! / 2! (3-2)! = 3!/2! = 3 x 2 x 1 / 2 x 1 = 3

bagaimana sobat pintar, mudah ya... ?!

Binom Newton

Binom Newton berhubungan dengan bentuk :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + a2b + ab2 + b3

... dst

Dimana suku ke-r dari bentuk tersebut adalah :

Suku ke-r = nCr-1 . an-r+1 . br-1 sebagai ilustrasinya :

berapa koefisien dari x27 dari (x2 + 2x)15 adalah ....

nCr-1 . an-r+1 . br-1 = 15Cr-1 . (x2)15-r+1 . (2x)r-1

= 15Cr-1 . (x30-2r+2 ). (2x)r-1

agar x berpangkat 27 dibuat :

27 = (30 - 2r - 2) + (r -1) maka r = 4

sehingga suku ke - 4 = 15C3 . x24 . 8x3 = 15C3 8x27 = 15!/(12! 3!) 8x27 = 3640x27

maka koefisiennya : 3640

Latihan 1

Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi ?

A. 20

B. 25

C. 45

D. 40

E. 50

Latihan 2

Siswa diminta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan, tetapi soal 1 - 5 wajib dikerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid adalah ....

A. 8

B. 7

C. 6

D. 5

E. 4

Perbedaan Permutasi dan Kombinasi

Perbedaan Masalah Permutasi dan Kombinasi

Setelah mengetahui dua rumus tentang permutasi dan kombinasi, hal yang tidak kalah penting adalah membedakan permasalahan yang termasuk dalam permutasi atau kombinasi. Permasalahan yang sering muncul berupa soal cerita dan kita dituntut agar bisa membedakan masalah tersebut termasuk dalam permutasi atau kombinasi. Sehingga, tidak terjadi kesalahan dalam menggunakan rumus untuk menyelesaikan masalah tersebut. Perhatikan dua contoh kasus berikut.

Kasus pertama:

Permasalahan permutasi

Susunan panitia yang terdiri atas ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara akan dibentuk untuk mensukseskan suebuah acara. Susunan panitia tersebut akan dipilih dari 10 orang terpilih berdasarkan kriteria yang telah ditentukan. Berapakah banyaknya susunan panitia yang dapat dibentuk?

Kasus ke dua:

Permasalahan kombinasi

Enam buku akan dipilih dari lima buku Matematika, tiga buku Fisika, dan empat buku Kimia untuk disumbangkan ke sekolah untuk anak jalanan. Berapakah banyaknya cara yang dapat dilakukan untuk memilih enam buku tersebut?

Coba perhatikan penjelasan berikut !

Pada kasus pertama, susunan urutan menjadi bagian yang perlu diperhatikan. Kedudukan ketua untuk orang pertama tentu akan berbeda dengan ketua yang ditempati oleh orang ke tiga. Begitu juga dengan kududukan untuk posisi lainnya.

Sedangkan pada contoh kasus kedua, pemilihan buku pada urutan pertama dan kedua misalnya adalah buku Matematika pertama dan buku Matematika ke dua, keduanya merupakan buku Matematika. Sehingga, urutan tidak dipehatikan. Intinya, rumus permutasi digunakan untuk permasalahan yang memperhatikan urutan. Sedangkan kombinasi digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang tidak memperhatikan urutan.

Bagaimana sobat pintar, sudah paham yaa sekarang perbedaan kasus permutasi dan kombinasi. Tetap semangat belajar sobat pintar!

redesain-navbar Portlet