redesain-navbar Portlet

BelajarPintarV3

Peta Belajar Bersama

Notasi, Domain, Kodomain, Range dan Grafik Fungsi

Sumber: Pngdownload.id

Sobat Pintar pasti pernah mengetahui cara kerja suatu mesin, bukan?

Jika bahan baku dimasukkan ke dalam mesin maka mesin akan memprosesnya dan menghasilkan suatu produk baru. Nah! Dalam materi matematika juga ada loh yang konsepnya sama dengan mesin.

Yap! Fungsi.

Fungsi memiliki konsep seperti mesin lho, sobat! Jadi daerah asal fungsi sebagai bahan bakunya dan daerah hasil sebagai produknya.

Kita pelajari lebih lanjut materi fungsi yuk!

NOTASI FUNGSI

Suatu fungsi secara sistematis dapat dituliskan:

Catatan

Jika f(x)=y, maka y merupakan bayangan x (image), sedangkan x merupakan prabayangan dari y (pra-image)

Fungsi dapat disajikan dalam bentuk:

  • diagram panah
  • diagram cartesius
  • himpunan pasangan berurutan

DOMAIN, KODOMAIN DAN RANGE FUNGSI

Jika f adalah suatu fungsi dari A ke B, maka himpunan A disebut domain (daerah asal) dan himpunan B disebut kodomain (daerah kawan). Sedangkan himpunan B yang berpasangan (himpunan C) disebut range (hasil) fungsi f.

Aturan yang memasangkan anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B disebut aturan fungsi f.

Domain suatu fungsi dapat ditetapkan secara jelas (eksplisit). Jika domain tidak ditetakan dengan jelas, maka digunakan kesepakatan bahwa domainnya merupakan himpunan  bilangan real.

Syarat yang harus dipenuhi agar suatu fungsi terdefinisi (memiliki daerah hasil di himpunan bilangan real), yaitu:

  • fungsi dalam akar

  • fungsi pecahan

  • fungsi pecahan, dimana penyebutnya merupakan fungsi lain dalam bentuk akar

  • fungsi logaritma

GRAFIK FUNGSI

Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B dapat dbuat grafik pemetaannya dengan menggunakan diagram cartesius. Grafik suatu fungsi dapat berupa garis lurus maupun kurva.

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi pada koordinat cartesius, yaitu:

  1. Tentukan domain (jika belum diketahui secara pasti, pilih beberapa bilangan bulat disekitar nol)
  2. Tentukan pasangan berurutan dari fungsi tersebut
  3. Gambar pasangan berurutan sebagai titik pada koordinat cartesius
  4. Hubungkan titik-titik yang sudah digambar pada koordinat cartesius

Berdasarkan grafik suatu fungsi, dapat ditentukan domain dan range nya. Domain fungsi terletak pada sumbu x, sedangkan kodomain fungsi terletak pada sumbu y.

Operasi Aljabar Fungsi

Pada dua atau lebih fungsi dapat dilakukan operasi aljabar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.

Operasi aljabar yang berlaku pada fungsi, antara lain:

Sekarang kita lanjut ke latihan soal yuk, Sobat!

Latihan 1

Jawablah soal berikut!

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 2

Jawablah soal berikut!

A. 4

B. 3

C. 1

D. -3

E. -4

Latihan 3

Jawablah soal berikut!

Jika (f+g)(x)=3x2+4x-6 dan g(x)=x2+4x. Maka f(x) adalah ....

A. 2x2+6

B. x2-6

C. 4x2-6

D. 2x2-6

E. 4x2+6

Latihan 4

Jawablah soal berikut!

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 5

Jawablah soal berikut!

Jika f(x)=4x, maka untuk setiap x berlaku f(x+1)-f(x)= ….

A. f(x)

B. 2f(x)

C. 3f(x)

D. f(x-1)

E. 3f(x-1)

Fungsi Komposisi

KONSEP OPERASI KOMPOSISI

Suatu fungsi dapat digabungkan menjadi fungsi yang baru dengan syarat tertentu yaitu operasi komposisi. Operasi komposisi dilambangkan dengan “o” (komposisi/bundaran).

Fungsi komposisi yang dapat dibentuk dari dua fungsi f(x) dan g(x), yaitu:

Catatan:

Tidak semua fungsi dapat dikomposisikan. Dua fungsi dapat digabungkan apabila memenuhi syarat berikut:

  • Jika daerah hasil f merupakan himpunan bagian dari daerah asal g

  • Jika daerah hasil f dengan daerah asal g diiriskan, hasilnya bukan himpunan kosong

MENENTUKAN KOMPONEN FUNGSI APABILA DIKETAHUI ATURAN FUNGSINYA

Jika menentukan komposisi dari dua fungsi tinggal mensubstitusikan, untuk menentukan salah satu fungsi jika diketahui komponen fungsinya dapat menggunakan cara-cara pada contoh berikut:

Jika diketahui f(x) dan g(x) pada R dengan f(x)=x2 – 4. 

Tentukan rumus fungsi g(x) jika diketahui :

  • (f o g)(x) = 4x2 + 4x – 3 
  • (g o f)(x) = 2x2 – 7 

Penyelesaian:

  • (f o g)(x) = 4x2 + 4x – 3 

f(g(x)) = 4x2 + 4x – 3

(g(x))2 – 4 = 4x2 + 4x – 3

(g(x))2 = 4x2 + 4x –3 + 4

(g(x))2 = 4x2 + 4x +1

(g(x))2 = (2x+1)2

g(x) = 2x+1

  • Misal : g(x)=ax+b

g( f(x)) = 2x2 – 7

g(x2 – 4) = 2x2 – 7

a(x2 – 4) + b = 2x2 – 7 

ax2 – 4a + b = 2x2 – 7

a = 2

– 4a + b = – 7

– 4.2 + b = – 7

– 8 + b = – 7

b = 8 – 7 = 1

Jadi g(x) = ax+b = 2x+1

SIFAT-SIFAT OPERASI KOMPOSISI FUNGSI

Fungsi Komposisi memiliki beberapa sifat, diantaranya:

Fungsi Invers

KONSEP FUNGSI INVERS

Invers disebut juga dengan balikan. Invers fungsi f disimbolkan dengan f-1. Secara matematis, invers dapat didefinisikan:

Daerah asal dari fungsi f merupakan daerah hasil pada fungsi f-1. Sedangkan daerah asal dari fungsi f-1 merupakan daerah hasil pada fungsi f.

Jika digambarkan pada koordinat cartesius, grafik fungsi invers merupakan pencerminan daari grafik fungsinya terhadap garis y = x.

Catatan:

Jika f adalah fungsi dari A ke B, maka f-1 adalah fungsi invers f dari B ke A jika dan hanya jika f merupakan fungsi satu-satu (bijektif).

RUMUS FUNGSI INVERS

Jika suatu fungsi mempunyai invers, maka fungsi inversnya dapat dicari dengan menggunakan dua cara, yaitu:

  1. Membalik anak panah fungsi semula (apabila diagram panahnya diketahui)
  2. Menggunakan prinsip, jika y = f(x), maka x = f-1(y)

Langkah-langkah menentukan invers dengan prinsip jika y = f(x), maka x = f-1(y):

  1. Nyatakan persamaan fungsinya y = f(x)
  2. Carilah x dalam y, kemudian namakan persamaan tersebut dengan x = f-1(y)
  3. Ganti x dengan y dan y dengan x sehingga menjadi y = f-1(x)

Terdapat rumus cepat untuk menentukan invers dari beberapa bentuk fungsi, antara lain:

FUNGSI INVERS DARI FUNGSI KOMPOSISI

Berdasarkan diagram diatas, dapat dinyatakan:

SIFAT-SIFAT FUNGSI INVERS

Jika f dan g merupakan dua fungsi yang memiliki invers dan komposisi fungsi, maka berlaku:

Catatan:

Latihan 1

Jawablah soal berikut!

Jika f(x)=2x+1 maka f-1(64)= ….

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5

Latihan 2

Jawablah soal berikut!

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 3

Jawablah soal berikut!

Jika (gof)(x) = 4x2 + 4 , g(x) = x2 - 1, maka f(x - 2) adalah ….

A. 2x+1

B. 2x-1

C. 2x+2

D. 2x-2

E. 2x-3

Latihan 4

Jawablah soal berikut!

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 5

Jawablah soal berikut!

Jika f(x)=1/x dan g(x)=2x-1, maka titik (x,y) yang memenuhi y=(fog)-1(-1)  adalah ….

A. (0,2)

B. (1,0)

C. (2,-2)

D. (-1,0)

E. (-2,1)

redesain-navbar Portlet