redesain-navbar Portlet

BelajarPintarV3

Lingkaran dan Unsur-unsurnya

Apasih yang dimaksud dengan lingkaran? Yuk, Sobat Pintar perhatikan penjelasan dibawah ini.

Lingkaran  merupakan kumpulan titik-titik pada garis bidang datar yang semuanya berjarak sama dari titik tertentu. Titik ini disebut pusat lingkaran. Kumpulan titik-titik tersebut jika dihubungkan membentuk suatu garis lengkung. 

Keliling dan Luas Lingkaran

Nah, Sobat Pintar. Tadi kita sudah selesai membahas pengertian lingkaran, sekarang waktunya mengetahui lebih lanjut tentang unsur-unsur lingkaran.

Unsur-unsur Lingkaran:

 

  1. Titik Pusat
    Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran. Titik O merupakan titik pusat lingkaran.
  2. Jari-Jari (r)
    Jari-jari lingkaran adalah garis dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran. Garis AO, garis OB, dan OD merupakan jari-jari lingkaran.
  3. Diameter (d)
    Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan melalui titik pusat. Garis AB merupakan diameter lingkaran.
  4. Busur
    Dalam lingkaran, busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik sebarang di lengkungan tersebut.
  5. Tali Busur
    Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran. Berbeda dengan diameter, tali busur tidak melalui titik pusat.
  6. Tembereng
    Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur.
  7. Juring
    Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut.
  8. Apotema
    Pada sebuah lingkaran, apotema merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk bersifat tegak lurus dengan tali busur

Hubungan antara Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Bagaimana dengan penjelasan sebelumnya tentang lingkaran dan unsur-unsurnya? Sekarang kita lanjut memahami tentang unsur lingkaran yang selanjutnya, akan dijelaskan melalui gambar berikut ini:

Sudut Pusat
Pada gambar di atas, sudut pusat adalah sudut yang terbentuk oleh dua buah jari-jari (OA dan OB). Sudut yang terbentuk antara titik A, O, dan B merupakan sudut pusat lingkaran.
 
Sudut Keliling
jika sudut pusat terbentuk oleh bertemunya dua buah jari-jari pada titik pusat. maka sudut keliling adalah sudut yang terbentuk oleh bertemunya dua buah tali busur. seperti bisa kalian lihat pada gambar si atas, sudut yang terbentuk antara titik A, C, dan B adalah sudut keliling lingkaran dengan titik sudut berada di C.

Hubungan Besar Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Besar sudut pusat dan sudut keliling yag menghadap busur yang sama memiliki hubungan. Jadi, jika suatu besar sudut pusat diketahui, maka sudut keliling yang menghadap busur yang sama juga dapat diketahui. Hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling dapat dinyatakan dalam uraian di bawah.

Perhatikan gambar di bawah!
 
sudut keliling
 
Hubungan antara dua sudut keliling \angle PSR dan \angle PQR adalah

  \[ \angle PSR + \angle PQR = 180^{o}\]

  1. Besar sudut pusat adalah dua kali besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama.
     

     

      \[ \angle AOB = 2 \times ACB \]

  2. Besar sudut keliling adalah setengah dari besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama.
     

     

      \[ \angle ACB = \frac{1}{2} \times AOB \]

  3. Besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama.

    Untuk kasus ini, perhatikan gambar di bawah!

    sudut keliling
     
    Perhatikan \angle ACB\angle AXB, dan \angle AYB! Ketiganya menghadap busur yang sama, yaitu AB. Maka besar ketiga sudut tersebut adalah sama, \angle ACB = \angle AXB = \angle AYB.

  4. Jumlah dari sudut keliling yang saling berhadapan adalah 180^{o}.

Rumus Panjang Busur

Sobat Pintar telah belajar banyak hal tentang lingkaran, mulai dari luas lingkaran, keliling, sudut pusat, sudut keliling dan juga unsur-unsurnya. Diantara unsur-unsur lingkaran ada yang namanya busur dan juring.  Kali ini Sobat Pintar akan belajar menghitung panjang dari tali busur dan luas dari juring.

 

Rumus Panjang Busur

Rumus Luas Juring

Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring

 

Latihan

Perhatikan gambar berikut!

Jika besar sudut AOB adalah 40o maka besar sudut ACD adalah ….

A. 70

B. 72

C. 80

D. 83

Latihan

Sebuah juring memiliki sudut 90o dan jari-jarinya 7 cm. Berapakah panjang busur dan luas juringnya?

A. 10 cm dan 34,5 cm2

B. 11 cm dan 38,5 cm2

C. 12 cm dan 40,5 cm2

D. 13 cm dan 44,5 cm2

Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Perhatikan gambar di bawah ini! Lingkaran A berpusat di A dengan jari-jari AD = r1. Lingkaran B berpusat di B dengan jari-jari BE = r2.

AB adalah jarak kedua titik pusat lingkaran (s). DE adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran, dimana DE tegak lurus dengan AD. Melalui titik B, dapat ditarik garis BC yang sejajar garis DE (BC//DE), sehingga BE = CD = r2, dan sudut ACB = 90o.

Maka segitiga ACB adalah segitiga siku-siku, sehingga berlaku teorema Phythagoras,
AB2 = AC2 + BC2
BC2 = AB2 – AC2
        = AB2 – (AD – CD)2
        = s2 – (r– r2)2

Karena BC//DE dan sudut ACB = sudut ADE = 90o, maka DE = BC. Jadi, DE2 = s2 – (r1 – r2)2. Maka panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran dirumuskan:

l2 = s2 – (r1 – r2)2

dengan r1 > r2, dan
l : panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran
s : jarak antara kedua pusat dua lingkaran
r1: jari-jari lingkaran pertama
r2: jari-jari lingkaran kedua

Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Perhatikan gambar di bawah ini! Lingkaran A berpusat di A dengan jari-jari AC = r1. Lingkaran B berpusat di B dengan jari-jari BE = r2

AB adalah jarak kedua titik pusat lingkaran (s). CE adalah garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran, dimana CE tegak lurus dengan AC. Melalui titik B, kita dapat menarik garis BD yang sejajar dengan garis CE. (BD//CE), sehingga CD = BE = r2, dan sudut ADB = 90o.

Maka segitiga ADB adalah segitiga siku-siku, sehingga berlaku teorema Phythagoras, yaitu:
AB2 = AD2 + BD2
BD2 = AB2 – AD2
        = AB2 – (AC + CD)2
        = s2 – (r1 + r2)2

Karena BD//CE dan sudut ADB = sudut ACE = 90o, maka CE = BD. Jadi, CE2 = s2 – (r1 + r2)2. Sehingga, dapat kita simpulkan bahwa panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah:

d2 = s2 – (r1 + r2)2

dengan r1 > r2, dan
d : panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran
s : jarak antara kedua pusat dua lingkaran
r1 : jari-jari lingkaran pertama
r2 : jari-jari lingkaran kedua

Latihan

Diketahui dua buah lingkaran dengan pusat M dan N, dengan panjang jari-jari berturut-turut adalah 10 cm dan 25 cm. Jika jarak titik M dan N adalah 17 cm, maka panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut adalah …

A. 7

B. 8

C. 49

D. 64

Latihan

Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15 cm. Panjang jari-jari lingkaran yang besar adalah 6 cm. Jika jarak antara kedua titik pusat sama dengan 17 cm, berapa panjang jari-jari yang lingkaran kecil?

A.

2

B.

4

C.

6

D.

8

redesain-navbar Portlet