Logika matematika itu apa, sih? Kamu sudah pernah mendengar istilah logika matematika atau belum, Sobat Pintar? Orang bilang, laki-laki doang yang pakai logika. Eh ternyata matematika juga punya logika, loh!

Emang logika matematika itu yang kayak gimana, sih? Salah satu contoh sederhana logika matematika itu begini. Jika Astrid bekerja, maka Astrid mendapatkan gaji. Nah, kalau Astrid tidak mendapatkan gaji, maka kesimpulannya bagaimana menurutmu, Sobat?

Pernyataan pada kalimat di atas merupakan contoh pernyataan majemuk dari logika matematika. Kalau begitu, apa yang dimaksud dengan logika matematika? Apa fungsi dari logika matematika? Langsung aja yuk, kita kupas tuntas!

Pengertian Logika Matematika

Photo by cottonbro studio on Pexels

Logika matematik adalah landasan berpikir secara logis untuk menarik kesimpulan dari suatu kondisi tertentu. Melalui logika matematika, kita dapat menentukan kebenaran dari suatu pernyataan. 

Nah, sebelum membahas tentang jenis-jenis logika matematika, kita harus tahu tentang jenis-jenis kalimat terlebih dahulu, Sobat. Kalimat terbagi menjadi dua macam, yaitu kalimat deklaratif dan kalimat nondeklaratif. Kalimat deklaratif merupakan sebuah kalimat pernyataan yang memiliki nilai logika benar atau salah (kalimat tertutup). Kalau benar ya benar, kalau salah ya salah (tidak ambigu).

Kapan suatu pernyataan dibilang benar? Terkait dengan materi logika matematika, suatu kalimat deklaratif dinyatakan benar apabila pernyataan tersebut berlaku untuk umum dan sesuai dengan keadaan yang sebenarnya (faktual). 

Contoh: 

Alexa dinyatakan lulus SMA karena nilainya di atas KKM. (benar secara umum)

Bona tidak masuk sekolah karena sakit. (benar secara faktual)

Bagaimana dengan kalimat nondeklaratif? Jelas dong, kalimat nondeklaratif itu kebalikan dari kalimat deklaratif. Dalam materi logika matematika, kalimat nondeklaratif yaitu kalimat yang belum atau tidak memiliki nilai logika. Kalimat nondeklaratif biasanya berupa kalimat tanya, kalimat perintah, dan kalimat terbuka.

Tunggu sebentar. Kalimat bisa terbuka? Apanya yang terbuka? Dalam materi logika matematika, kalimat terbuka berarti kalimat tersebut masih belum jelas nilai kebenarannya. Kalimat terbuka biasanya memuat variabel. Apabila variabel pada kalimat tersebut diganti dengan suatu nilai, maka kalimat terbuka berubah menjadi kalimat tertutup. 

Contoh soal logika matematika: 

2x – 1 = 9 (kalimat terbuka)

Apabila x = 5, maka pernyataan tersebut bernilai benar

Apabila x = 3, maka pernyataan tersebut bernilai salah

Pernyataan Tunggal dan Pernyataan Majemuk

Photo by cottonbro studio on Pexels

Pernyataan sendiri terbagi menjadi dua bentuk, yaitu pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk. Bagaimana contohnya? Simak, yuk!

Pernyataan Tunggal

Pernyataan tunggal adalah pernyataan yang dapat berdiri sendiri, sehingga tidak membutuhkan tanda hubung. Ingkaran termasuk dalam pernyataan tunggal.

Ingkaran

Ingkaran, biasa disebut juga dengan negasi, merupakan penolakan dari pernyataan yang sudah ada. Nilai kebenaran dalam ingkaran tentu saja bertolak belakang dari nilai kebenaran pernyataan semula. Negasi biasa disimbolkan dengan:

Bagaimana cara menentukan nilai kebenaran dari pernyataan negasi? Perhatikan tabel kebenaran berikut, Sobat.

Keterangan:

B = pernyataan bernilai benar

S = pernyataan bernilai salah

Contoh:

Pernyataan Majemuk

Selain pernyataan tunggal, ada pula pernyataan majemuk. Berbeda dengan pernyataan tunggal, pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan tanda hubung.

Contoh:

Aku suka cokelat dan keju.

Jika Dina pergi, maka Dina mandi.

Pernyataan majemuk terbagi menjadi empat jenis. Keempat jenis pernyataan majemuk tersebut yaitu konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.

Konjungsi

Pernyataan majemuk yang pertama yaitu kongjungsi. Apa konjungsi itu? Konjungsi adalah gabungan dari dua atau lebih pernyataan tunggal dengan kata hubung dan. Kongjungsi disimbolkan dengan:

Ada kaidah khusus dalam penulisan pernyataan majemuk ini. Secara matematis, konjungsi dari pernyataan p dan q dapat dituliskan sebagai:

Dalam pernyataan konjungsi, satu pernyataan saja yang bernilai salah maka pernyataan gabungannya pasti bernilai salah. Untuk memudahkan kita menentukan nilai kebenaran dari pernyataan konjungsi, perhatikan tabel kebenaran konjungsi berikut.

Contoh konjungsi:

Bagaimana jika konjungsinya berupa ingkaran? Apabila suatu pernyataan konjungsi berupa ingkaran, maka nilai kebenaran yang berlaku yaitu:

Contoh negasi konjungsi:

2 adalah bilangan genap dan bilangan prima. (konjungsi)

2 bukan bilangan genap atau bukan bilangan prima. (negasi konjungsi)

Disjungsi

Disjungsi adalah gabungan dari dua atau lebih pernyataan tunggal dengan kata hubung atau. Disjungsi disimbolkan dengan:

Bagaimana penulisan pernyataan majemuk yang satu ini? Secara matematis, disjungsi dari pernyataan p dan q dapat dituliskan sebagai:

Dalam pernyataan disjungsi, satu pernyataan saja bernilai benar maka pernyataan gabungannya juga bernilai benar. Untuk memudahkan kita menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan disjungsi, perhatikan tabel kebenaran disjungsi berikut.

Contoh disjungsi:

Bagaimana bila dijungsinya berupa ingkaran? Apabila suatu pernyataan disjungsi berupa ingkaran, maka nilai kebenaran yang berlaku yaitu:

Contoh negasi disjungsi:

Kerucut memiliki satu rusuk atau memiliki dua sisi. (disjungsi)

Bola tidak memiliki satu rusuk dan tidak memiliki dua sisi. (negasi disjungsi)

Implikasi

Suatu pernyataan majemuk yang menyatakan hubungan sebab akibat dengan bentuk kalimat “jika P maka Q” disebut dengan implikasi atau kondisional. Implikasi disimbolkan dengan:

Bagaimana penulisan pernyataan majemuk ini? Secara matematis, implikasi dari pernyataan p dan q dapat dituliskan sebagai:

Bagaimana menentukan nilai kebenaran implikasi? Untuk memudahkan kita menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan implikasi, perhatikan tabel kebenaran implikasi berikut.

Contoh implikasi:

Bagaimana dengan ingkaran implikasi? Apabila suatu pernyataan implikasi berupa ingkaran, maka nilai kebenaran yang berlaku yaitu:

Contoh negasi implikasi:

Jika cuaca hujan, maka Putra menjaga rumah. (implikasi)

Cuaca sedang hujan dan Putra tidak menjaga rumah. (negasi implikasi)

Biimplikasi

Suatu pernyataan majemuk yang berbentuk kalimat “P jika dan hanya jika Q” disebut dengan biimplikasi. Sesuai dengan istilahnya, biimplikasi berarti dua pernyataan saling menjadi sebab akibat atau, sederhananya, kalimat implikasi yang bisa dibolak-balik. Biimplikasi disimbolkan dengan:

Bagaimana penulisan pernyataan majemuk ini? Secara matematis, biimplikasi dari pernyataan p dan q dapat dituliskan sebagai:

Bagaimana pula nilai kebenaran pernyataan majemuk yang terakhir ini? Untuk memudahkan kita menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan biimplikasi, perhatikan tabel kebenaran biimplikasi berikut.

Contoh biimplikasi:

Bagaimana nilai kebenaran dari ingkaran biimplikasi? Apabila suatu pernyataan biimplikasi berupa ingkaran, maka nilai kebenaran yang berlaku yaitu:

Contoh negasi biimplikasi:

Bulan akan mendapatkan hadiah jika dan hanya jika menang olimpiade matematika. (biimplikasi)

Bulan akan mendapatkan hadiah dan tidak menang olimpiade matematika atau Bulan menang olimpiade matematika dan tidak mendapatkan hadiah. (negasi biimplikasi)

Penarikan Kesimpulan

Photo by Karolina Grabowska on Pexels

Penarikan kesimpulan dalam logika matematika melibatkan beberapa premis dan dilakukan secara deduktif. Penarikan kesimpulan terbagi menjadi tiga, yaitu silogisme, modus Ponens, dan modus Tollens.

Silogisme

Silogisme merupakan penarikan kesimpulan dari dua implikasi. Secara matematis, rumus logika matematika silogisme dapat dinyatakan sebagai berikut:

Contoh silogisme:

Premis 1: Jika aku sembuh, maka aku akan pergi sekolah.

Premis 2: Jika aku pergi sekolah, maka aku bisa mengikuti ujian.

Kesimpulan: ∴ Jika aku sembuh, maka aku bisa mengikuti ujian.

Modus Ponens

Modus Ponens merupakan penarikan kesimpulan dari satu implikasi dan satu pernyataan tunggal. Secara matematis, rumus logika matematika modus Ponens dapat dinyatakan sebagai berikut:

Contoh modus Ponens:

Premis 1: Jika BTS mengadakan konser di Indonesia, maka Dita membeli tiket konser BTS.

Premis 2: BTS mengadakan konser di Indonesia.

Kesimpulan: ∴ Dita membeli tiket konser BTS.

Modus Tollens

Modus Tollens merupakan penarikan kesimpulan dari satu implikasi dan satu negasi penyataan tunggal. Secara matematis, rumus logika matematika modus Tollens dapat dinyatakan sebagai berikut:

Contoh silogisme:

Premis 1: Jika cuaca cerah, maka Bobi akan pergi bermain.

Premis 2: Bobi tidak pergi bermain.

Kesimpulan: ∴ Cuaca tidak cerah.

Nah, sampai sini dahulu pembahasan mengenai logika matematika, Sobat Pintar. Kalian bisa belajar tentang materi logika matematika dengan lebih lengkap melalui aplikasi Aku Pintar. Misalnya, logika matematika ada 5 apa saja? Nah, kamu bisa mempelajarinya di fitur Belajar Pintar mata pelajaran Matematika.

Penulis: Kak Sophia

Penyunting: Deni Purbowati