Hubungan Antara Titik, Garis, dan Bidang

Nah, Sobat Pintar. Di bagian ini kita akan bersama mempelajari tentang hubungan antar garis.

1. Hubungan Titik dan Garis
Hubungan antara titik dan garis dapat terjadi dalam dua kondisi. Pertama, titik terletak pada garis dan kedua, titik terletak di luar garis. Titik disebut terletak pada garis apabila titik tersebut ada pada garis, atau titik tersebut menjadi bagian dari garis. Pada Gambar dibawah ini berikut diperlihatkan hubungan titik dengan garis. Gambar dibawah ini memperlihatkan titik A yang terletak di garis l.
Sedangkan gambar b memperlihatkan letak titik B di luar garis. Titik di luar garis apabila titik tersebut tidak menjadi bagian dari garis.

2. Hubungan Antara Titik dan Bidang
Keadaan di atas berlaku pula untuk hubungan titik dengan bidang. Titik terletak pada bidang atau titik tersebut menjadi bagian bidang. Perhatikan Gambar dibawah ini. Titik D tidak terletak pada bidang beta.

3. Hubungan Antara Garis dan Bidang
Hubungan antara garis dan bidang dapat diklasifikasikan menjadi tiga, yaitu:
1) garis terletak pada bidang,
2) garis tidak pada bidang, dan
3) garis menembus/memotong bidang.

Garis terletak pada bidang apabila garis menjadi bagian dari bidang. Letak garis l pada bidang (gambar i) membagi titik-titik pada bidang menjadi dua bagian bidang.
Letak garis di luar bidang apabila garis tidak menjadi bagian bidang. Adapun garis menembus/memotong bidang apabila persekutuan antara garis dan bidang adalah sebuah titik. Berikut ilustrasi tiga kondisi/hubungan antara garis dengan bidang.

4. Titik-titik segaris
Dua titik atau lebih dikatakan segaris jika titik-titik tersebut terletak pada garis yang sama. Pada Gambar dibawah ini titik A dan titik B dikatakan segaris, karena sama sama terletak pada garis l. Sedangkan istilah titik-titik segaris bisa disebut kolinear

5. Titik-titik sebidang
Dua titik atau lebih dikatakan sebidang jika titik-titik tersebut terletak pada bidang yang sama. Pada Gambar dibawah ini titik C dan titik D dikatakan sebidang, karena sama-sama terletak pada bidang  beta. Sedangkan istilah titik-titik sebidang bisa disebut koplanar.

Kedudukan Dua Garis

Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari tentang kedudukan dua garis baik dua garis sejajar, dua garis saling berpotongan, dua garis saling berhimpit pada bidang.

Agar Sobat Pintar dapat memahami tentang materi kedudukan dua garis dengan baik, mari kita lihat Tabel berikut.

Tabel Kedudukan Dua Garis

Untuk lebih memahami mari kita lihat contoh soal dibawah ini

Contoh :

Pada Gambar 7.13 Jam menunjukkan pukul 12.00. Posisi jarum detik, menit dan jam berada pada satu posisi yang sama.

Jika kita misalkan setiap jarum tersebut sebagai garis, hubungan antara ketiga garis itu disebut berhimpit. Pemahaman berhimpit dalam hal ini adalah terdapat satu garis yang menjadi tempat terletaknya garis yang lain.

Latihan 1

Kerjakanlah Soal berikut ini dengan benar!

Salinlah gambar berikut. Kemudian Dari titik P buatlah garis yang sejajar garis m, gambar manakah yang tepat untuk menggambarkan?

A.

B.

C.

D.

Latihan 2

Kerjakanlah Soal berikut ini dengan benar!

Hubungan antara dua garis yang ditunjukkan pada gambar tersebut adalah ….

A. Sejajar

B. Berpotongan 

C. Berimpit

D. Tegak Lurus

Latihan 3

Kerjakanlah Soal berikut ini dengan benar!

Hubungan antara dua garis yang ditunjukkan pada gambar tersebut adalah ….

A. Sejajar

B. Berpotongan 

C. Berimpit

D. Tegak Lurus

Latihan 4

Kerjakanlah Soal berikut ini dengan benar!

Hubungan antara dua garis yang ditunjukkan pada gambar tersebut adalah ….

A. Sejajar

B. Berpotongan 

C. Berimpit

D. Tegak Lurus

Membagi Garis Menjadi Beberapa Bagian Sama Panjang

Gunakan penggaris untuk membagi sebuah ruas garis menjadi beberapa bagian sama panjang, kemudian ikutilah langkah-langkah pada Tabel berikut ini.

Tabel Membagi Garis AB Menjadi 5 Bagian Sama Panjang

Membagi Garis Menjadi 2 Bagian dengan Perbandingan 1 : 3

Gunakan penggaris untuk membagi sebuah ruas garis menjadi 2 bagian dengan perbandingan 1 : 3, kemudian ikutilah langkah-langkah pada Tabel berikut ini.

Tabel Membagi Garis AB Menjadi 2 Bagian dengan Perbandingan 1 : 3

Membagi Garis Menjadi 2 Bagian dengan Perbandingan 2 : 5

Gunakan penggaris untuk membagi sebuah ruas garis menjadi 2 bagian dengan perbandingan 2 : 5, kemudian ikutilah langkah-langkah pada tabel berikut ini.

Tabel Membagi Garis AB Menjadi 2 Bagian dengan Perbandingan 2 : 5

Perbandingan Ruas Garis

Setelah kalian melakukan kegiatan mengamati dan membuat pertanyaan berikut ini kalian akan mempelajari tentang kesamaan dari hasil pembagian sebuah ruas garis. Coba perhatikan Gambar dibawah ini berikut.

Gambar tersebut menunjukkan ruas garis PQ dibagi menjadi 7 bagian yang sama panjang, sehingga PA = AB = BC = CD = DE = EF = FQ. Jika dari titik A, B, C, D, E, F, dan Q dibuat garis sejajar sehingga memotong pada ruas garis PR, sedemikian sehingga PG = GH = HI = IJ = JK = KL = LR maka diperoleh sebagai berikut.

Gambar PQ dibagi 7 bagian sama panjang

Sobat Pintar mari kita simak contoh soal dibawah ini

Contoh soal :

Perhatikan gambar berikut. Tentukan nilai x.

Penyelesaian :

Diketahui pada gambar di atas bahwa BM//PQ, sehingga didapat:

AP : PB = AQ : QM
x : 3,6 = 2 : 3
x x 3 = 3,6 x 2
3x = 7,2
x = 2,4
Jadi, nilai x adalah 2,4 cm

Latihan 1

Kerjakanlah Soal berikut ini dengan benar!

Perhatikan gambar berikut!

Tentukan panjang CQ!.

A. 3,7

B. 3,8

C. 3,5

D. 3,6

Latihan 2

Kerjakanlah Soal berikut ini dengan benar!
Perhatikan gambar berikut!

Nilai dari p adalah…

A. 4

B. 3

C. 5

D. 6

Latihan 3

Kerjakanlah Soal berikut ini dengan benar!
Perhatikan gambar berikut!

Tentukan nilai x dan y!

A. 2 dan 7

B. 3 dan 8

C. 3 dan 5

D. 3 dan 6

Latihan 4

Kerjakanlah Soal berikut ini dengan benar!

Nilai dari x adalah…

A. 2

B. 3

C. 6

D. 5

Menemukan Konsep Sudut

Secara matematis, hubungan sinar garis dan titik sudut diilustrasikan sebagai berikut.

Gambar Sudut yang terbentuk oleh dua sinar garis

Suatu sudut terbentuk dari perpotongan dua sinar garis yang berpotongan tepat di satu titik, sehingga titik potongnya disebut dengan titik sudut.
Nama suatu sudut dapat berupa simbol alfa, beta, dll, atau berdasarkan titik titik yang melalui garis yang berpotongan tersebut. Biasanya, satuan sudut dinyatakan dalam dua jenis, yaitu derajat ("^o") dan radian (rad). Sudut APB bisa juga disebut  Sudut P, dan besar sudut P dilambangkan dengan m sudut P.

Keterangan: Besar sudut satu putaran penuh adalah 360^o

Menentukan Besar Sudut yang Dibentuk oleh Jarum Jam

 

Dengan memperhatikan Gambar 4.14, kita dapat melihat bahwa pada pukul 02.00, jarum jam menunjuk ke arah bilangan 2 dan jarum menit menunjuk ke arah bilangan 12, sehingga sudut yang terbentuk adalah putaran penuh.

x 360^o = 60^o

Selanjutnya, mari kita cermati pengukuran sudut yang terbentuk oleh jarum jam dan jarum menit pada waktu-waktu yang lain.
Perputaran selama 12 jam jarum jam berputar sebesar 360^o, akibatnya pergeseran tiap satu jam adalah = 30^o

Penamaan Sudut

Secara matematis, penamaan sudut diperlukan untuk mempermudah penamaan sudut untuk kajian selanjutnya. Mari kita perhatikan Gambar berikut ini.

Gambar Penamaan Sudut ABC atau Sudut CBA

Dari Gambar tersebut BA dan BC disebut kaki sudut. Titik B adalah titik sudut. Secara umum, ada dua penamaan sudut, yaitu:

• Titik B dapat dikatakan sebagai titik sudut B seperti pada Gambar di atas. Ingat, penulisannya selalu menggunakan huruf kapital.
• Sudut yang terbentuk pada gambar di samping dapat juga disimbolkan dengan sudut ABC atau sudut CBA atau sudut B.

Pada setiap sudut yang terbentuk, harus kita tahu berapa besar derajat sudutnya. Secara manual, kita dapat menggunakan alat ukur sudut yaitu busur. Alat ini dapat membantu kita mengukur suatu sudut yang sudah terbentuk dan membentuk besar sudut yang akan digambar.
 

Gambar Busur, alat untuk mengukur sudut

Perlu kita kenalkan bahwa, terdapat ukuran sudut standar yang perlu kita ketahui, seperti yang disajikan pada gambar di bawah ini

Gambar Sudut lancip, tumpul, siku-siku, dan sudut lurus

Jenis-Jenis Sudut

1. Sudut Siku-Siku: ukuran sudutnya 90^o

2. Sudut Lancip: ukuran sudutnya antara 0^o dan 90^o

3. Sudut Tumpul: ukuran sudutnya antara 90^o dan 180^o

4. Sudut Lurus: ukuran sudutnya 180^o

5. Sudut Reflek: ukuran sudutnya antara 180^o dan 360^o

Latihan 1

Kerjakanlah Soal berikut ini dengan benar!

Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh jarum jam dan jarum menit ketika menunjukkan pukul 06.00!

A. 0^o

B. 90^o

C. 180^o

D. 360^o

Latihan 2

Kerjakanlah Soal berikut ini dengan benar!

Tentukan besar sudut dalam yang dibentuk oleh jarum jam dan jarum menit ketika menunjukkan pukul 14.00.

A. 420^o

B. 300^o

C. 120^o

D. 60^o

Latihan 3

Kerjakanlah Soal berikut ini dengan benar!

Besar sudut terkecil yang terbentuk oleh kedua jarum jam pada pukul 09.30 adalah…..

A. 165^o

B. 105 ^o

C. 135 ^o

D. 115^o

Latihan 4

Kerjakanlah Soal berikut ini dengan benar!

Besar sudut yang terbentuk dari pukul 08.30 adalah…..

A. 40^o

B. 30^o

C. 75^o

D. 60^o

Sudut Berpelurus dan Sudut Berpenyiku

1. Sudut berpelurus

Sudut berpelurus adalah sudut yang apabila dijumlahkan keduanya bernilai 180^o.

Berpelurus diambil dari kata dasar lurus  yang dibentuk oleh sebuah garis lurus adalah 180^o. Dua sudut yang disebut saling berpelurus adalah apabila jumlah besar kedua sudut tersebut adalah 180^o. Sudut yang satu disebut pelurus dari sudut yang lain.

Dengan demikian misalkan Sudut ABD dan Sudut CBD saling berpelurus, maka Sudut ABD + Sudut  CBD = 180^o. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar dibawah ini

2. Sudut berpenyiku

Sudut berpenyiku adalah sudut yang apabila dijumlahkan keduanya bernilai 90^o.

Sesuai dengan judul berpenyiku dengan kata dasar siku atau siku-siku maka besar sudutnya adalah 90^o. Apabila dua sudut yang letaknya saling bersebelahan membentuk sudut siku-siku atau jumlah besar sudutnya 90^o maka sudut-sudut tersebut dapat dikatakan saling berpenyiku atau disebut juga komplemen. Sudut yang satu disebut penyiku dari sudut yang lain.

Dengan demikian misalkan Sudut ADB dan Sudut BDC saling berpenyiku, maka Sudut ADB + Sudut BDC merupakan penyiku dari Sudut ABC. Perhatikan gambar dibawah ini

Pasangan Sudut yang Saling Betolak Belakang

Sudut yang saling bertolak belakang merupakan sudut yang posisinya saling bertolak belakang atau sudut yang membelakangi dan tentunya sama besar. Perhatikan gambar dibawah ini.

Sudut A = Sudut C (bertolak belakang)
Sudut B = Sudut D (bertolak belakang)
Sudut E = Sudut G (bertolak belakang)
Sudut F = Sudut H (bertolak belakang)

Gambar Sudut berpelurus dan bertolak belakang

1. Pada gambar (a) dan (b) termasuk sudut berpelurus, yaitu m Sudut T1 + m Sudut T2 = 180^o dan m Sudut T3 + m Sudut  T4 = 180^o
2. Pada gambar (c) dan (d) juga termasuk sudut berpelurus yaitu mT1 Sudut  + m Sudut T4 = 180^o dan m Sudut T2 + m Sudut T3 = 180^o
3. Pada gambar (e) dan (f) termasuk sudut sudut bertolak belakang, m Sudut T1 = m Sudut T3 dan m Sudut T2 = m Sudut T4
 

Perhatikan contoh soal dibawah ini

Contoh Soal :

Perhatikan gambar berikut. Tentukan nilai a^o dan b^o

Gambar Pasangan sudut-sudut bertolak belakang

Penyelesaian :

Untuk menyelesaikan soal ini, kita harus memahami sudut pelurus dan memahami pasangan sudut yang saling bertolak belakang. Pasangan-pasangan sudut bertolak belakang dari Gambar sebagai berikut.

- a + 60 sama dengan 180                                     sudut pelurus
   a + 60 = 180
  a = 180 – 60
  a = 120^o

- 60 sama besar dengan b                                      bertolak belakang
  60 = b
  b = 60^o

- a sama besar dengan c                                         bertolak belakang
  a = c
 120 = c                                                                   sudah ditemukan a =120^o
  c = 120^o
 Jadi nilai a = 120^o, b = 60^odan c = 120^o

Hubungan Sudut-sudut pada dua Garis Sejajar

Coba perhatikan Gambar berikut, yakni gambar lintasan kereta api dan modelnya.

Dua garis berwarna hijau, merupakan dua segmen garis sejajar, kita sebut garis k dan garis l, dipotong oleh garis garis m pada Gambar diatas sehingga membentuk delapan sudut.

Kedelapan sudut dapat digambarkan seperti gambar berikut.

Gambar Garis k dan l merupakan dua garis sejajar dipotongan oleh satu garis m

Perhatikan contoh soal dibawah ini

Contoh Soal :

Perhatikan gambar dibawah ini. Tentukan nilai x-nya

Penyelesaian :

Coba ingat kembali tentang materi sudut yang saling bertolak belakang pada bagian Masalah di atas, yakni sebagai berikut

Karena garis k//l, akibatnya besar sudut 3x dengan besar sudut 60^o membetuk sudut berpelurus

3x + 60 = 180 berpelurus
         3x = 180 - 60
         3x = 120
           x = 40
Jadi nilai x = 40^o

Latihan 1

Kerjakanlah Soal berikut ini dengan benar!

Tentukanlah nilai x + y + z!

A. 87

B. 78

C. 65

D. 56

Latihan 2

Kerjakanlah Soal berikut ini dengan benar!

Besar Sudut ABD adalah ….

A. 108°

B. 125°

C. 105°

D. 120°

Latihan 3

Kerjakanlah Soal berikut ini dengan benar!

Nilai dari y adalah ….

A. 28°

B. 25°

C. 26°

D. 29°

Latihan 4

Kerjakanlah Soal berikut ini dengan benar!

Besar dari Sudut KLN adalah……

A. 78°

B. 72°

C. 66°

D. 79°

Melukis Sudut

Pada materi kali ini Sobat Pintar akan mempelajari tentang melukis sudut-sudut istimewa (90^o, 60^o, 45^o, dan 30^o). Agar kalian dapat melukis sudut-sudut istimewa tersebut, coba sekarang sediakan suatu alat berupa jangka dan penggaris.

a. Melukis Sudut 90^o

Untuk melukis sudut 90^o, ikutilah langkah-langkah pada tabel berikut ini berikut ini:

Tabel Melukis Sudut 90^o

b. Melukis Sudut 60^o

Untuk melukis sudut 60^o, ikutilah langkah-langkah pada tabel berikut ini berikut ini:

Tabel Melukis Sudut 60^o

c. Membagi Sudut Menjadi Dua Sama Besar

Misalkan kita akan membagi  Sudut PQR seperti pada Gambar berikut menjadi dua sama besar.

Ikutilah langkah-langkah pada tabel berikut ini :

Tabel Membagi sudut menjadi dua sama besar

Latihan 1

Kerjakanlah Soal berikut ini dengan benar!

Alat yang digunakan untuk melukis sudut istimewa adalah….

A. Jangka dan Penggaris

B. Penghapus dan Penggaris

C. Penggaris dan Pulpen

D. Pensil warna dan Kertas

Latihan 2

Kerjakanlah Soal berikut ini dengan benar!

Berikut yang termasuk sudut-sudut istimewa, kecuali…

A. 90^o

B. 45^o

C. 95^o

D. 60^o

Latihan 3

Kerjakanlah Soal berikut ini dengan benar!

Berikut  gambar Sudut 90^o, yang benar adalah....

A.

B.

C.

D.

Latihan 4

Kerjakanlah Soal berikut ini dengan benar!

Berikut  gambar Sudut 45^o yang benar adalah....

A.

B.

C.

D.