redesain-navbar Portlet

BelajarPintarV3

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Setelah memasuki bab matriks, mari kita bahas operasi hitung matriks dimulai dari penjumlahan dan pengurangan matriks.

Coba sobat pintar Perhatikan bahwa kedua matriks yang dijumlahkan memiliki ordo yang sama. Hasil matriks yang diperoleh adalah matriks yang berordo sama, diperoleh dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang seletak.

Bagaimana dengan pengurangan matriks? Pengurangan matriks juga dapat dilakukan jika ordo matriks yang akan dikurangkan sama. Hasil pengurangan matriks ini merupakan matriks yang berordo sama, diperoleh dengan cara mengurangkan elemen-elemen yang seletak.

Jika sobat pintar masih binung, coba sobat pintar perhatikan contoh soal berikut :

Diketahui dua buah matriks sebagai berikut :

Tentukan nilai dari 3A - 2B.

Pembahasan:

Bagaimana sobat pintar, mudah bukan?

Perkalian Bilangan Real dengan Matriks

Setelah Sobat Pintar mempelajari penjumlahan dua dan tiga matriks. Sekarang, lakukan penjumlahan matriks A berordo i x j secara berulang sebanyak n kali.

maka,

 

Dari uraian ini, sobat pintar dapat menarik kesimpulan sebagai berikut:

 

Jika A sebuah matriks dan k bilangan real maka hasil kali kA adalahmatriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing elemen matriks A dengan k.
 

 

Perkalian Dua Matriks

Apakah sobat pintar tau permainan domino? Bagaimanakah memasangkan kartukartu dalam permainan domino? Agar selembar kartu domino dapat dipasangkan dengan kartu domino yang lain, jumlah mata bagian kanan kartu tersebut harus sama dengan jumlah mata bagian kiri kartu pasangannya.

 

Prinsip pemasangan kartu domino ini dapat kita gunakan untuk memahami perkalian dua matriks, yaitu sebuah matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Adapun elemen-elemen matriks hasil kali ini adalah jumlah dari hasil kali elemen-elemen pada baris matriks A dengan elemen-elemen pada kolom matriks B.

 

 

 

Latihan Soal 1

Diketahui dua buah matriks:

Tentukan nilai dari 3A - 2B

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan Soal 2

Jika A = B maka nilai dari a + x + y adalah

A. 5,2

B. 5

C. 2,5

D. 3

E. 6,5

Determinan

Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang disebut determinan. Determinan dari matriks persegi A dinotasikan dengan |A|.

Untuk matriks A berordo 2 x 2, determinan matriks A didefinisikan sebagai berikut.

 

maka Determinan |A| adalah:

|A| =  ad - bc

Adapun untuk matriks B berordo 3x3, determinan matriks B ini didefinisikan sebagai berikut menggunakan kaidah Sarrus.

 

Jikamaka determinan matriks B adalah


 

 

Invers Matriks

Setelah sobat pintar paham akan determinan, yu kita lanjutkan ke Invers matriks. Matriks persegi A mempunyai invers, jika ada matriks B sedemikian hingga  dengan I matriks identitas. Pada persamaan disebut saling invers. Berikut ini adalah syarat suatu matriks A mempunyai invers.

  • Jika A = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers. Oleh karena itu, dikatakan matriks A sebagai matriks singular.
  • Jika  maka matriks A mempunyai invers. Oleh karena itu, dikatakan matriks A sebagai matriks nonsingular.

 

Untuk matriks  berordo 2 x 2 ini, kita dapat menentukan inversnya sebagai berikut.

 

Untuk menentukan invers suatu matriks dengan ordo 3 x 3, sobat pintar harus memahami tentang matriks minor, kofaktor, dan adjoint.

a. Matriks Minor

 

Matriks minor  diperoleh dengan cara menghilangkan elemenelemen pada baris ke-i dan kolom ke-j matriks A berordo 3 x 3, sehingga didapat matriks baru dengan ordo 2 x 2. Determinan dari matriks tersebut disebut minor dari determinan matriks A, ditulis dengan .

 

Minor-minor dari matriks A adalah sebagai berikut.

b. Kofaktor

 

Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan dengan Untuk menentukannya ditentukan dengan rumus

 

Kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah sebagai berikut.

c. Adjoint

Misalkan suatu matriks A berordo n u n dengan kofaktor dari matriks A, maka

 

Untuk matriks A berordo 3 x 3, maka

 

Untuk menentukan determinan dari matriks berordo 3 x 3, selain dengan kaidah Sarrus, dapat juga digunakan matriks minor dan kofaktor.

 

Determinan matriks A (det A) dapat ditentukan menggunakan rumus:

Bagaimana sobat pintar, apakah sobat pintar pham?

Latihan Soal 1

Diketahui dua buah matriks:

Jika AX = B, tentukan matriks X

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan Soal 2

Diketahui sebuah matriks:

Tentukan invers matriks A

A.

B.

C.

D.

E.

Apa itu matriks?

Pengertian matriks adalah kumpulan bilangan (atau unsur) yang disusun menurut baris dan kolom tertentu. Bilangan-bilangan yang disusun tersebut dinamakan eleme-elemen atau komponen-komponen matriks. Nama sebuah matriks biasanya dinyatakan dengan huruf kapital. Dalam sebuah matriks ada istilah ordo. Yang dimaksud dengan ordo atau ukuran matriks adalah banyaknya baris x banyak kolom dalam sebuah matriks.

Contoh

Matriks A di atas terdiri dari 3 baris dan 4 kolom. Sobat bisa mengatakan matriks A berordo 3 x 4 atau bisa sobat hitung tulis A(3×4).

Oke sobat pintar kita lanjut ke materi berikutnya.

Matriks nol dan matriks bujur sangkar

1. Matriks NOL

Dinamakan matriks nol karena semua elemennya bernilai NOL.

Contoh :

2. Matriks Bujur Sangkar

Adalah matriks yang banyak baris dan kolomnya sama banyaknya.

Contoh :

Matriks skalar dan matriks identitas

3. Matriks skalar

Matriks skalar adalah matriks yang elemen-elemen pada lajur diagonalnya bernilai sama.

Contoh :

4. Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 1 dan yang lainnya bernilai 0.

Contoh :

Matriks segitiga atas, matriks segitiga bawah dan matriks diagonal

5. Matriks segitiga atas

Matriks segitiga atas adalah matriks bujur sangakr yang elemen-elemen di bagwah diagonal utamanya (kiri atas ke kanan bawah) bernilai nol

Contoh :

6. Matriks segitiga bawah

Kebalikan dari segitiga atas, matriks ini berbentuk bujur sangkar yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.

Contoh :

7. Matriks diagonal

matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utama adalah nol.

Transpose matriks

Transpose dari suatu matriks merupakan pengubahan baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Transpos dari matrik A dinotasikan At

Contoh :

Beberapa sifat matriks adalah sebagai berikut :

1. (A + B)t = At + Bt

2. (At)t = A

3. (cA)t = cAt, dimana c adalah konstanta

4. (AB)t = BtAt

redesain-navbar Portlet