redesain-navbar Portlet

BelajarPintarV3

Garis Singgung

Amati gambar tersebut, misalkan A adalah suatu titik tetap pada grafik y = f(x) dan B adalah sebuah titik berdekatan yang dapat dipindah-pindahkan sepanjang grafik y = f(x). Misalkan, titik A berkoordinat (a, f(a)) maka titik B berkoordinat (a + x, f(a + x)). Garis yang melalui A dan B mempunyai gradien (kemiringan) . Garis ini memotong grafik di dua titik A dan B yang berbeda.

Jika titik B bergerak sepanjang kurva y = f(x) mendekati titik A maka nilai x semakin kecil. Jika nilai x mendekati nol maka titik B akan berimpit dengan titik A. Akibatnya, garis singgung (jika tidak tegak lurus pada sumbu-x) adalah garis yang melalui A(a, f(a)) dengan gradien.

Contoh

Perhatikan gambar berikut !

Tentukan gradien garis singgung pada kurva f(x) = x2 di titik dengan absis 2

Jawab : 

Jadi, gradien garis singgung kurva f(x) = x2 di titik dengan absis x = 2 adalah m = 4.

Turunan fungsi di x = a

Jika fungsi y = f(x) terdefinisi di sekitar x = a maka:

 

Jika  ada maka nilainya disebut turunan fungsi f(x) di x = a. Turunan fungsi f ialah suatu fungsi juga, yaitu fungsi turunan yang dilambangkan dengan f '(x). Untuk menyatakan turunan di x = a dinyatakan dengan f '(a). Jadi,

Contoh

Gunakan konsep limit untuk menyelesaikan soal berikut ini.

Jika f (x) = x2 – x , tentukan f'(5) ! 

Jawab :

 

Jadi sudah paham kan kalau materi turunan sebenarnya berasal dari konsep limit pada materi sebelumnya 

Yuk, lanjut lagi ke materi konsep turunan berikutnya ..

Mengenal Notasi Leibnitz

Sobat pintar telah mempelajari bahwa turunan fungsi f(x) dinotasikan dengan f '(x). Nilai x menyatakan perubahan nilai x, yaitu x = x2 - x1. Adapun perubahan f(x + x) - f(x) menyatakan perubahan nilai fungsi f(x) dinotasikan dengan f. 

Selanjutnya, bentuk limit tersebut dapat dituliskan menjadi 

Selain itu, terdapat notasi lain untuk menyatakan turunan fungsi, yaitu . Diketahui fungsi 

............... (1) 

Sehingga turunan fungsi (1) menjadi 

Notasi tersebut diperkenalkan oleh seorang ahli matematika Jerman, yaitu Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646–1716) sehingga dinamakan notasi Leibnitz, tepatnya notasi Double d Leibnitz.

Contoh 

Misalkan f(x) = x3, tentukanlah .

Jawab :

 

Nah, bagaimana sobat pintar .. sudah paham kan mengenai konsep turunan ? 

Lanjut lagi ya belajarnya 

 

Menentukan Turunan Fungsi f(x) = ax

Misalkan, fungsi f(x) = axn dengan n = 1, 2, dan 3. Untuk n = 1, diperoleh f(x) = ax dan turunan fungsi tersebut adalah

Untuk n = 2, diperoleh f (x) = ax2 dan turunan fungsi tersebut adalah 

Dengan cara yang sama, coba sobat pintar cari turunan fungsi f(f x) = ax3 , f(x) = ax4 dan f(x) = ax5.

Sobat pintar dapat menurunkan hal seperti ini untuk fungsi-fungsi berikut.

Dari uraian tersebut, dapatkah sobat pintar menduga bentuk umum turunan fungsi? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata sobat sendiri. Konsep yang telah sobat pintar pelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut: 

 

Untuk n = 0, f(x) = axn menjadi f(x) = ax0 = a. Fungsi f(f x) = a dinamakan fungsi konstan sehingga untuk berapa pun nilai x, nilai fungsinya tetap, yaitu a.

Contoh

Tentukanlah turunan fungsi-fungsi berikut ini !

a. f(x) = x4

b. f(x) = –8x3

Jawab:

a. f(x) = x4 maka f '(x) = 4x4–1 = 4x3

b. f(x) = –8x3 maka f ' (x) = –8(3)x3–1 = –24x2

 

Bagaimana sobat pintar, apakah sudah semakin paham ? 

Menentukan Turunan Fungsi f(x)=axn dengan n Bilangan Rasional

Misalkan, fungsi f(x) = x1/2, maka turunan fungsi f(x) adalah 

Dari uraian tersebut dapatkah sobat pintar menduga bentuk umum turunan fungsi f(x) = axn?

Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata sobat sendiri. Konsep turunan fungsi f(x) = axn yang telah sobat pelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut :

Contoh

Tentukan Turunan Fungsi-fungsi Berikut !

a. 

b. 

Jawab :

a. 

b. 

 

Yuk, lanjut ke materi berikutnya...

Turunan Fungsi Berbentuk y = u + v

Diketahui, fungsi y = f(x) dengan f(x) = u(x) + v(x), dalam hal ini u(x) dan v(x) fungsi yang dapat diturunkan di x = a untuk a bilangan real. Dengan demikian, 

Dari uraian tersebut, dapatkah sobat pintar menduga bentuk umum turunan fungsi y = u  v ?

Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata sobat sendiri. Konsep turunan fungsi y = u  v yang telah sobat pelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut :

Contoh

Tentukan turunan fungsi berikut !

a. f (x) = x3 – 3x2

b. 

Jawab :

a. f(x) = x3 – 3x2 maka f '(x) = 3x2 – 6x

b. 3 - 

Turunan Fungsi y = c.u

Jika diketahui, fungsi y = f(x) dengan f(x) = c . u(x), dalam hal ini c konstanta dan u(x) fungsi yang dapat diturunkan di x = a untuk a bilangan real sehingga ,

Misalkan, a adalah sebarang bilangan real sehingga untuk y = f(a) = c . u(a) berlaku f '(a) = c . u'(a). Akibatnya, dari y = cu berlaku y' = c . u'

 

Contoh 

Tentukan Turunan Fungsi Berikut !

a. f(x) = 3x2

b. 

Jawab :

a. f(x) = 3x2 maka f '(x) = 6x

b. 

 

Bagaimana sobat pintar.. masih semangat kan belajarnya,

yuk lanjut lagi!

Turunan Fungsi y = uv

Diketahui, fungsi y = f(x) dengan f(x) = u(x) · v(x), dengan u(x) dan v(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan di x = a, untuk a bilangan real. Oleh karena itu, 

 

Oleh karena itu, jika y = f(x) = u(x) · v(x) dengan a bilangan real sebarang berlaku f '(a) = u(a) · v'(a) + v(a) · u'(a).

Sehingga,

Untuk y = u · v, maka y' = uv' + vu'.

 

Contoh

Tentukan turunan fungsi berikut !

a. f(x) = (5x2 – 1) (3x – 2)

Jawab :

a. f(x) = (5x2 – 1) (3x – 2)

Misalkan, u = 5x2 – 1 maka u' = 10x dan v = 3x – 2 maka v' = 3

sehingga

f '(x) = u (x) . v' (x) + v (x) . u' (x) = (5x2 – 1) . 3 + (3x – 2) . 10x

= 30x2 – 20x + 15x2 – 3 = 45x2 – 20x – 3

Turunan Fungsi y = u pangkat n

Diketahui y = f(u) dengan f(u) = un dan u = g(x). Jika fungsi u = g(x) dapat diturunkan di x = a, untuk a bilangan real maka 

Oleh karena a bilangan real sebarang maka, 

Dengan cara yang sama, dapatkah sobat pintar memperoleh  ? 

Untuk x mendekati nol maka u mendekati nol, sehingga 

 

f(f u) = un, f '(u) = nun – 1 sehingga y'(x) = nun – 1 u'(x).

Jadi, disimpulkan bahwa Untuk y = un maka y' = nun – 1 u'(x).

 

Contoh

Tentukan Turunan Fungsi Berikut !

a. f(x) = (2 + 3x2)9

Jawab :

a. f(x) = (2 + 3x2)9

Misalkan, u = 2 + 3x2 maka u’(x) = 6x sehingga

f (x) = u9

f ‘(x) = 9u8 .u’(x) = 9(2 + 3x2)8.6x = 54x(2 + 3x2)8

Aturan Rantai

Coba sibat pintar perhatikan kembali uraian materi tentang fungsi y = un . Dari uraian tersebut, diperoleh bahwa untuk y = f(u) = un dengan u = g(x) maka turunannya y' = nun–1 u'(x). Hasil tersebut menggambarkan aturan rantai.

Amati contoh soal berikut

Contoh

Tentukan Turunan Fungsi 

Jawab :

 

Ayo lanjut lagi ke materi berikutnya..,

Turunan Fungsi y = u/v

Diketahui, fungsi y = f(x) dengan , dalam hal ini u(x) dan v(x) fungsi yang dapat diturunkan di x = a untuk a bilangan real maka, 

Oleh karena itu, jika y =  dengan a sebarang bilangan real sehingga berlaku 

maka 

 

Kesimpulan :

Untuk , berlaku 

 

Contoh

Tentukan Turunan Fungsi f(x) = tan x

Jawab :

f(x) = tan x = 

Misalkan u = sin x maka u' = cos x dan v = cos x maka v' = – sin x.

= sec2x

 

Nah, bagaimana sobat pintar apakah sudah paham semua materi tentang cara menentukan turunan fungsi ?

Jika masih bingung bisa mengunakan fitur diskusi ya..,

Selamat balajar 

Menentukan Persamaan Garis Singgung pada Kurva Jika Gradien Garis Singgung Diketahui

Sobat pintar tentunya telah mengetahui bahwa kemiringan (gradien) garis singgung kurva y = f(x) di titik A(a, f(a)) adalah

Persamaan garis lurus yang melalui titik P(x1, y1) dengan gradien m adalah

Dengan demikian, persamaan garis singgung g di titik A(a, f(a)) pada kurva adalah :

 

Lalu bagaimana untuk menentukan persamaan garis singgung pada kurva apabila gradien garis singgung diketahui ?pelajari uraian contoh berikut.

Contoh

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut !

y = f(x) di titik (1, 4) jika f '(x) = 3x2 + 6x

Jawab : 

Persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (1, 4), menurut rumus adalah y – f (1) = f '(1) (x – 1).

Diketahui f(1) = 4 dan f '(x) = 3x2 + 6x maka f '(1) = 3 . 12 + 6 . 1 = 9.

Jadi, persamaan garis singgung di titik (1, 4) adalah

y – 4 = 9 (x – 1)

y = 9x – 5.

Pengertian dan Contoh Fungsi Naik Fungsi Turun

Gradien garis singgung di suatu titik pada grafik dapat ditentukan dengan turunan fungsi. Untuk fungsi naik dan fungsi turun memenuhi teorema berikut. Misalkan, fungsi f dapat diturunkan pada selang terbuka (a, b). 

1. Jika f '(x) > 0 untuk setiap x dalam selang (a, b) maka fungsi f naik pada selang (a, b).

2. Jika f '(x) < 0 untuk setiap x dalam selang (a, b) maka fungsi f turun pada selang (a, b).

 

Contoh

Periksa naik atau turunnya fungsi f(x) = –x2 pada selang (0,1).

Jawab :

f(x) = –x2 maka f '(x) = –2x.

Misalkan, p anggota (0, 1) sehingga 0 < p < 1.

f '(p) = –2p < 0 untuk p > 0 sehingga f(x) = x2 pada selang (0, 1) merupakan fungsi turun.

 

Bagaimana nih sobat pintar, sudah faham belum dengan materi yang telah di sampaikan ? yuk kita diskusikan bersama sobat pintar lainnya…..

Menentukan Maksimum dan Minimum Fungsi

Untuk menentukan nilai minimum atau maksimum fungsi f(x) dalam interval tertutup, terlebih dahulu ditentukan nilai f(x) untuk nilai x sebagai titik ujung interval domain fungsi f(x) dan nilai x yang menyebabkan f'(x) = 0. Kemudian, bandingkan nilai-nilai tersebut.

 

Contoh 

Tentukan nilai maksimum dan minimum f(x) = 2x2 – x, untuk 

Jawab :

 

Jika masih kurang paham bisa berdiskusi dengan sobat pintar lainnya ya sobat ..,

Pengertian dan Contoh Turunan Kedua

Sobat pintar telah mempelajari turunan pertama fungsi yang dinotasikan dengan

Fungsi turunan dari turunan pertama dinamakan fungsi turunan kedua yang dinotasikan dengan

Turunan kedua fungsi f(x):

Contoh 

Tentukan turunan kedua untuk fungsi f(x) = 2x4 – 5x 

Jawab : 

Jadi, turunan kedua fungsi f(x) = 2x4 – 5x adalah f“(x) = 24x²

redesain-navbar Portlet