redesain-navbar Portlet

BelajarPintarV3

Pengertian Statistika

Hai sobat pintar, pada modul kali ini kita akan mempelajari tentang materi statistika. Apakah statistika itu?

Statistika ialah ilmu yang mempelajari tentang bagaimana merencanakan, menganalisis, menginterpretasi, mengumpulkan dan mempresentasikan data sehingga bisa dikatakan bahwa Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data.

Tetapi Statistika dan Statistik merupakan dua hal yang berbeda karena Statistik adalah data, sedangkan Statistika adalah ilmu yg berkenaan dengan data yang dapat digunakan untuk mendeskripsikan atau menyimpulkan data dengan sebagian besar konsep dasarnya mengasumsikan Teori Probabilitas.

Adapun didalam Matematika bahwa Rumus Statistika Dasar ini akan hadir ditingkat Sekolah Menengah Atas (SMA) dan pelajaran Statistika Matematika tersebut meliputi Mean, Median, Modus, Jangkauan, Ragam dan Simpangan sehingga kalian sebagai Siswa dan Siswi tingkat Sekolah Menengah Atas harus benar – benar mengetahui tentang Statistika Matematika Dasar ini atau paling tidak mengenal tentang Mean, Modus dan Median didalam Statistika Dasar.

Kegiatan Statistika meliputi:

1. Mengumpulkan data

2. Menyusun data

3. Menyajikan data

4. Mengolah dan Menganalisis data

5. Menarik kesimpulan

6. Menafsirkan

nah... itulah sekilas mengenai statistika, yuk... lanjut ke materi berikutnya

Penyajian Data

A. Penyajian Data dalam bentuk diagram

1. Diagram Garis

Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus disebut diagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan.

Contoh:

2. Diagram Batang

Diagram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang menunjukkan keterangan-keterangan dengan batang-batang tegak atau mendatar dan sama lebar dengan batang-batang terpisah.

Contoh :

3. Diagram Lingkaran

Diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambar yang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran menunjukkan bagian-bagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran.

Contoh :

 

B. Penyajian data dalam bentuk Tabel Distribusi Histogtam, Poligon, dan Ogif

1. Distribusi Frekuensi Tunggal

Data tunggal seringkali dinyatakan dalam bentuk daftar bilangan, namun kadangkala dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. Tabel distribusi frekuensi tunggal merupakan cara untuk menyusun data yang relatif sedikit.

2. Distribusi Frekuensi Kelompok

Data yang berukuran besar (n > 30) lebih tepat disajikan dalam tabel distribusi frekuensi kelompok, yaitu cara penyajian data yang datanya disusun dalam kelas-kelas tertentu. Langkah-langkah penyusunan tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut.

Langkah ke-1

menentukan Jangkauan (J) = Xmax - Xmin

Langkah ke-2

menentukan banyak interval (K) dengan rumus "Sturgess" yaitu: K= 1 + 3,3 log n dengan n adalah banyak data. Banyak kelas harus merupakan bilangan bulat positif hasil pembulatan ke bawah.

Langkah ke-3

menentukan panjang interval kelas (I) dengan menggunakan rumus:

I = J / K

Langkah ke-4

menentukan batas-batas kelas. Data terkecil harus merupakan batas bawah interval kelas pertama atau data terbesar adalah batas atas interval kelas terakhir.

Langkah ke-5

memasukkan data ke dalam kelas-kelas yang sesuai dan menentukan nilai frekuensi setiap kelas dengan sistem turus.

3. Histogram

Dari suatu data yang diperoleh dapat disusun dalam tabel distribusi frekuensi dan disajikan dalam bentuk diagram yang disebut histogram. Jika pada diagram batang, gambar batang-batangnya terpisah maka pada histogram gambar batang-batangnya berimpit.

4. Poligon

Apabila pada titik-titik tengah dari histogram dihubungkan dengan garis dan batang-batangnya dihapus, maka akan diperoleh poligon frekuensi.

5. Distribusi Frekuensi Kumulatif

Daftar distribusi kumulatif ada dua macam, yaitu sebagai berikut:

a. Daftar distribusi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas).

b. Daftar distribusi kumulatif lebih dari (menggunakan tepi bawah).

6. Ogive (Ogif)

Grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi kumulatif lebih dari disebut poligon kumulatif. Poligon kumulatif dibuat mulus, yang hasilnya disebut ogif. Ada dua macam ogif, yaitu sebagai berikut:

a. Ogif frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogif positif.

b. Ogif frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogif negatif.

Mean data tunggal

Pengertian dari Mean sendiri adalah nilai rata – rata hitung dan didalam Rumus Mean (Rumus Rataan Hitung) bisa dilakukan dengan cara membagi Jumlah Nilai data dg banyaknya data tersebut. Lalu Rumus Statistika Mencari Rataan Hitung tersebut memiliki tiga rumus yang terbagi antara lain :

1. Mean Data Tunggal


 

2. Mean data distribusi frekuensi

3. Mean data berkelompok

agar sobat pintar lebih memahami rumus-rumus di atas, perhatikan contoh di bawah ini kemudian kalian dapat mencoba beberapa latihannya

Contoh Soal :

1. Dari data tunggal berikut :

5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 10

tentukanlah mean (rata-rata)!

Jawab :

Rata-rata hitung (mean) = jumlah semua nilai / banyak nilai

Rata-rata hitung (mean) = (5+3×6+2×7+8+9+10)/9

Rata-rata hitung (mean) = 64 / 9

Rata-rata hitung (mean) = 7,1

2. Data di bawah ini menunjukkan nilai ulangan matematika dari sekelompok siswa, tentukanlah nilai rata-rata (mean)!

Nilai 4 5 6 7 8 9
Frekuensi 3 4 7 6 3 2

Jawab :

Mean = (3×4+4×5+7×6+6×7+3×8+2×9)/(3+4+7+6+3+2)

Mean = 158 / 25 = 6,3

Latihan 1

Mean (rata-rata hitung) dari 17,15, 20, x, 16, 15 adalah 16. Tentukanlah nilai x !

A. 11

B. 12

C. 13

D. 14

E. 15

Latihan 2

Data hasil penimbangan berat badan (dalam kg) dari 60 orang ibu pada suatu desa disajikan dalam tabel distribusi di bawah ini.

rata-rata berat badan 60 orang ibu-ibu tersebut adalah ....

A. 69,25

B. 70,16

C. 70,17

D. 70,33

E. 72,25

Median (Nilai tengah)

Sobat pintar, di modul sebelumnya kita telah mempelajari tentang rataan hitung atau mean. Sekarang kita lanjut ke materi tentang Median (nilai tengah).

Median adalah suatu nilai tengah yang telah diurutkan. Median dilambangkan Me.

1. Untuk menentukan nilai Median data tunggal dapat dilakukan dengan cara:

a) mengurutkan data kemudian dicari nilai tengah,

b) jika banyaknya data besar, setelah data diurutkan, digunakan rumus:

Contoh:

Tentukan median dari data: 2, 5, 4, 5, 6, 7, 5, 9, 8, 4, 6, 7, 8

Jawab:

Data diurutkan menjadi: 2, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9

Median = data ke-(13 + 1)/2

= data ke-7

Jadi mediannya = 6

2. Median data berkelompok

Jika data yang tersedia merupakan data kelompok, artinya data itu dikelompokkan ke dalam interval-interval kelas yang sama panjang.

Untuk mengetahui nilai mediannya dapat ditentukan dengan rumus berikut ini.

Keterangan:

Kelas median adalah kelas yang terdapat data X1/2 n

L = tepi bawah kelas median

c = lebar kelas

n = banyaknya data

F = frekuensi kumulatif kurang dari sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

Contoh :

Perhatikan data di bawah ini !

Tabel di atas menyajikan berat badan (dalam Kg) dari 30 balita yang ditimbang saat kegiatan Posyandu di Desa Suka Makmur. Median dari data tersebut adalah ....

Jawab:

Banyak data : 30

Letak Median : n / 2 = 30 / 2 = 15 ( data ke-15 maka terletak di rentang data 9 - 11 )

tepi bawah (L) : 9 - 0,5 = 8,5

panjang kelas (c) : 3

fk: 9

masuk ke dalam rumus

Me = 8,5 + 3 ( (15 - 9) / 12)

Me = 8,5 + 3 (6/12) = 8,5 + 1,5 = 10 kg

Jadi Median dari data tersebut adalah 10 Kg

Untuk lebih memahami tentang pencarian nilai median, coba sobat pintar kerjakan beberapa latihan di halaman berikutnya

Latihan 1

Perhatikan data pada tabel berikut!

Nilai 60 65 70 75 80 85 90 95
Frekuensi 1 4 2 10 11 3 1 1

Median dari data di atas adalah .....

A. 75

B. 75,5

C. 80

D. 85

E. 85,5

Latihan 2

Median dari data pada histogram berikut adalah ....

A. 20

B. 20,5

C. 21

D. 21,5

E.

22,5

Modus (Nilai sering muncul)

Sobat pintar, selanjutnya kita mempelajari apa itu Modus.

Modus ialah nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi. Jika suatu data hanya mempunyai satu modus disebut unimodal dan bila memiliki dua modus disebut bimodal, sedangkan jika memiliki modus lebih dari dua disebut multimodal. Modus dilambangkan dengan Mo.

1. Modus data tunggal

Modus dari data tunggal adalah data yang sering muncul atau data dengan frekuensi tertinggi.

Perhatikan contoh soal berikut ini.

Tentukan modus dari data 2, 1, 4, 1, 1, 5, 7, 8, 9, 5, 5, 10

Jawab: Data yang sering muncul adalah 1 (muncul sebanyak 3 kali) dan 5 (muncul sebanyak 3 kali) . Jadi modusnya adalah 1 dan 5 (bimodal).

2. Modus data kelompok

Modus data kelompok dirumuskan sebagai berikut:

Keterangan:

L = tepi bawah kelas modus

c = lebar kelas

d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

Latihan 1

Data nilai siswa hasil ulangan matematika disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berikut.

Nilai modus dari data pada tabel di atas adalah ....

A. 49,5 - 40/7

B. 49,5 - 36/7

C. 49,5 + 36/7

D. 49,5 + 40/7

E. 49,5 + 48/7

latihan 2

Tabel berikut menyajikan data berat badan 40 siswa

Nilai modus dari data pada tabel di atas adalah ....

A. 57,5 + 27/8

B. 57,5 + 18/8

C. 57,5 - 15/8

D. 57,5 - 18/8

E. 57,5 + 20/8

Quartil

Seperti yang sudah dibahas sebelumnya sobat pintar, bahwa median membagi data yang telah diurutkan menjadi dua bagian yang sama banyak. Adapun kuartil adalah membagi data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyak.

Keterangan :

Xmin = data terkecil

Xmax = data terbesar

Q1 = kuartil ke - 1

Q2 = kuartil ke - 2

Q3 = kuartil ke - 3

 

1. Kuartil data tunggal

Urutkan data dari yang kecil ke yang besar, kemudian tentukan kuartil dengan rumus sebagai berikut:

Contoh:

Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data : 3, 4, 7, 8, 7, 4, 8, 4, 6, 9, 10, 8, 3, 7, 12.

Jawab:

Langkah 1:

urutkan data dari kecil ke besar sehingga diperoleh 3, 3, 4, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12.

Langkah 2:

Letak data Q1 = 1(15+1)/4 = 4

Jadi Q1 terletak pada data ke-empat yaitu 4

Langkah 3:

Letak data Q2 = 2(15+1)/4 = 8

Jadi Q2 terletak pada data ke-delapan yaitu 7

Langkah 4:

Letak data Q1 = 3(15+1) / 4 = 12

Jadi Q3 terletak pada data ke-duabelas yaitu 8

2. Kuartil data kelompok

Nilai kuartil dirumuskan sebagai berikut:

Keterangan:

Qi = kuartil ke-i (1, 2, atau 3)

L = tepi bawah kelas kuartil ke-i

n = banyaknya data

F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas kuartil

c = lebar kelas

f = frekuensi kelas kuartil

Latihan 1

Nilai kuartil atas dari data pada tabel berikut adalah ....

A. 71,5

B. 72,0

C. 73,5

D. 75,5

E. 76,5

Latihan 2

Nilai kuartil atas dari data pada tabel berikut adalah ....

A. 69,50

B. 70,00

C. 70,50

D. 70,75

E. 71,75

Desil

Sobat pintar, pada materi ini kali ini merupakan kelanjutan dari kuartil.

Kalau desil berfungsi membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama besar. Setiap n data terurut dibagi menjadi 10 bagian, sehingga terdapat 9 nilai desil. Ilustrasi pembagian n data terurut menjadi 10 bagian sama banyak dan letak nilai desilnya dapat dilihat pada gambar di bawah.

1. Desil untuk data tunggal

Berikut rumus untuk mencari nilai desil data tunggal :

Keterangan :

Di adalah desil ke-i

n adalah banyaknya data

2. Desil untuk data berkelompok

Berikut rumus untuk mencari nilai desil data berkelompok :

Keterangan :

Di adalah desil ke-i

Tb adalah tepi bawah kelas desil

p adalah panjang kelas

n adalah banyaknya data

F adalah frekuensi kumulatif sebelum kelas desil

f adalah frekuensi kelas desil

 

Contoh :

1. Desil data tunggal

Tentukan desil ke-8 dari data : 6, 3, 8, 9, 5, 9, 9, 7, 5, 7, 4, 5, 8, 3, 7, 6.

Jawab:

n = 16

data terurut = 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9.

letak D8 = 8(16+1) / 10 = 13,6

D8 = X13 + 0,6 (X14 – X13)

=8 +0,6(9-8)

= 86

2. Desil data berkelompok

Tentukan nilai D6 dari data berikut :

Persentil

Persentil diambil dari kata persen, per seratus. Sehingga, persentil merupakan pembagian n data terurut menjadi 100 bagian sama banyak. Dari 100 bagian yang dibagi sama banyak tersebut, dibatasi oleh 99 nilai persentil. Perhatikan ilustrasi pembagian data dan letak nilai persentil seperti gambar di bawah.

1. Persentil data tunggal

Berikut rumus untuk menentukan nilai persentil data tunggal

keterangan :

Pi adalah persentil ke-i

n adalah banyaknya data

2. Persentil data berkelompok

Berikut rumus untuk menentukan persentil data berkelompok

keterangan :

Pi adalah persentil ke-i

Tb adalah tepi bawah kelas persentil

p adalah panjang kelas

n adalah banyak data

Fk adalah frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil

f adalah frekuensi kelas persentil

 

Contoh :

1. Persentil data tunggal

Tentukan persentil ke-65 dari data : 6, 5, 8, 7, 9, 4, 5, 8, 4, 7, 8, 5, 8, 4, 5.

Jawab :

n = 15

data terurut : 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9.

letak P65 = 65(15+1) / 100 = 10,4

P65 = X100 + 0,4 (X11-X10)

= 7 + 0,4 (8-7)

= 7,4

Maka, nilai persentil ke-65 yaitu 7,4.

2. Persentil data berkelompok

Tentukan Persentil-30 dari data berikut

 

Latihan 1

Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut!

D4 dari data di atas adalah ....

A. 127,2

B. 127,4

C. 129,2

D. 129,7

E. 129,8

Latihan 2

Upah dari sejumlah karyawan disajikan dalam tabel distribusi frekuensi di bawah ini.

Nilai persentil ke-70 data tersebut adalah ....

A. Rp. 1.270.000,-

B. Rp. 1.340.000,-

C. Rp. 1.405.000,-

D. Rp. 1.475.000,-

E. Rp. 1.625.000,-

Jangkauan

Ukuran penyebaran yang paling sederhana (kasar) adalah jangkauan (range) atau rentangan nilai, yaitu selisih antara data terbesar dan data terkecil.

1. Range data tunggal

Untuk range data tunggal dirumuskan dengan:

R = xmaks – xmin

Contoh :

Tentukan range dari data-data di bawah ini.

6, 7, 3, 4, 8, 3, 7, 6, 10, 15, 20

Jawab :

Dari data di atas urutkan terlebih dahulu kemudian diperoleh xmaks = 20 dan xmin = 3 Jadi, R = xmaks – xmin = 20 – 3 = 17

2. Range data kelompok

Untuk data kelompok, nilai tertinggi diambil dari nilai tengah kelas tertinggi dan nilai terendah diambil dari nilai kelas yang terendah.

Latihan 1

Tentukan jangkauan (range) dari data di bawah ini : 7 , 8 , 65 , 8 , 4 , 7

A. 57

B. 58

C. 61

D. 63

E. 65

Latihan 2

Jangkauan dari data di bawah ini adalah ....

A. 20

B. 30

C. 40

D. 50

E. 60

redesain-navbar Portlet