redesain-navbar Portlet

BelajarPintarV3

Penjumlahan dan Pengurangan pada Vektor

sebelum masuk pada bagian penambahan dan pengurangan vektor, yuk sobat pintar perhatikan penjelasan berikut.

Perhatikan titik-titik   pada koordinat Cartesius berikut ini

 

 

Pada gambar tersebut, vektor a, b, dan c dapat kalian tulis sebagai berikut.

 

Sekarang, jumlahkanlah vektor a dan b. Karena vektor merupakan matriks kolom, maka sobat pintar dapat menjumlahkan vektor a dan b dengan menggunakan aturan penjumlahan matriks. Dengan aturan ini, akan diperoleh

Perhatikan bahwa 

 

Uraian tersebut menunjukkan bahwa a +b = c. Secara geometris, penjumlahan antara vektor a dan b ini dapat kalian lakukan dengan dua cara, yaitu:

a. Cara segitiga

Dalam cara ini, titik pangkal vektor b berimpit ruas dengan titik ujung vektor a. Jumlah vektor a dan b didapat dengan menarik ruas garis dari titik pangkal vektor a ke titik ujung vektor b. Ruas garis ini diwakili oleh vektor c. Akibatnya, a +b = c.

 

b. Cara jajargenjang

 

Misalkan, vektor a mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B dan vektor b mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal C ke titik D. Dalam cara jajargenjang, titik pangkal vektor a berimpit dengan titik pangkal vektor b, yaitu A C. Dengan membuat jajargenjang ABED, akan diperoleh

 

Sekarang, jika vektor a dijumlahkan dengan invers vektor b, maka kalian mendapatkan penjumlahan vektor a + (-b) sebagai berikut.

 

Seperti pada bilangan real, kalian dapat menuliskan a + (-b) = a - b. Secara geometris, kalian dapat mengurangkan a dengan b sebagai berikut.

Perkalian Skalar dengan Vektor

Pada bagian sebelumnya, sobat pintar telah mempelajari penjumlahan vektor. Apa yang terjadi jika vektor-vektor yang dijumlahkan adalah k vektor yang sama? Dalam penjumlahan tersebut, sobat pintar akan mendapatkan sebuah vektor baru yang setiap komponen-komponennya diperoleh dengan mengalikan k dengan setiap komponen-komponen vektor u. Akibatnya, vektor baru tersebut segaris dengan vektor u dan memiliki panjang k|u|.

Dalam perkalian skalar dengan vektor ini, jika k > 0, maka vektor ku searah dengan vektor u. Adapun jika k < 0, maka vektor ku berlawanan arah dengan vektor u.

Sifat Operasi Hitung pada Vektor

Setelah kita belajar tentang operasi hitung pada vektor, yuk sobat pintar kita bahas sifat-sifat operasi hitung pada vektor. terdapar 4 sifat dalam operasi hitung vektor, selanjutnya mari kita lihat satu persatu

sifat 1

sifat 2

sifat 3

sifat 4

Latihan Soal 1

Diketahui vektor a = (1, 4, 5) dan b = (2, 3, 2), tentukan vektor c = 2a + 3b

A.
8, 17, 16

B. 17, 16, 8

C. 8, -1, 4

D. -4, 1, 16

E. 8, 17, -4

Perkalian Skalar Dua Vektor dan Proyeksi Vektor

Jika a dan b vektor-vektor tak nol dan sudut di antara vektor a dan b, maka perkalian skalar vektor a dan b didefinisikan oleh a . b = |a | |b| cos .

Misalkan a1, a2 dan a3 adalah bilangan-bilangan positip dan diketahui persamaan vektor a = a1i+ a2j + a3k, maka panjang vektor a secara geometris dapat digambarkan :

Dengan bantuan teorema Pythagoras dapat ditentukan panjang vektor a , yaitu:

Sedangkan untuk A(Ax, Ay, Az) dan B(Bx, By, Bz) maka panjang vektor AB dirumuskan :

Sebagai contoh, misalkan vector a = 4 i – 5 j + 3 k , maka panjang vector a adalah :

Sedangkan untuk titik A(-2, 4, -1) dan B(-5, 2, 5), maka panjang vektor AB didapat:

Jika a = a1i+ a2j + a3k dan b = b1i+ b2j + b3k maka perkalian skalar a dan b secara geometris didefinisikan:

Sebagai contoh diketahui dua vector a dan b seperti gambar berikut.

Sedangkan secara analitis perkalian skalar dua vektor a dan b didapat dengan cara:

Latihan Soal 1

Diketahui dua vektor a dan b seperti berikut 

Tentukanlah nilai a . b

A. -48

B. 48

C. -84

D. 84

E. -88

Latihan Soal 2

Diketahui P(2, 2x, 0), Q(–1, 1, –7) dan R(3x, 3, x). Jika PQ . PR = –23 maka tentukanlah nilai x

A. x = 2 atau x= 4

B. x=2 atau x= 8

C. x=-2 atau x=8

D. x=-2 atau x=-8

E. x=-4 atau x=2

Materi Matematika IPA Umum - Umum Lainnya

redesain-navbar Portlet