redesain-navbar Portlet

BelajarPintarV3

Peta Belajar Bersama

 

Konsep Pola Bilangan

Sumber : lingkarwarna.com

Pernahkah Sobat Pintar mengamati urutan nomor rumah di kompleks rumah kalian?

Apakah nomor rumahnya berpola bilangan asli sesuai urutan, atau rumah sebelah kiri menggunakan nomor rumah ganjil dan sebelah kanan menggunakan nomor rumah genap?

Nah! Materi yang akan kita bahas kali ini berhubungan dengan pola pada bilangan.

Pengertian Pola Bilangan

Pola bilangan yaitu aturan yang digunakan untuk membuat suatu kelompok bilangan.

Macam-macam Pola Bilangan

Pola bilangan dapat dikelompokkan menjadi beberapa macam, diantaranya:

Pola Bilangan Ganjil

Berdasarkan pola di atas, terbentuk pola bilangan ganjil yaitu: 1, 3, 5, 7, 9.

Rumus bilangan ke-n pada pola bilangan ganjil, yaitu: 2n – 1.

Sedangkan jumlah n bilangan ganjil pertama, yaitu: n2.

 

Pola Bilangan Genap

Berdasarkan pola di atas, terbentuk pola bilangan genap yaitu: 2, 4, 6, 8. 

Rumus bilangan ke-n pada pola bilangan genap, yaitu: 2n. 

Sedangkan jumlah n bilangan genap pertama, yaitu: n(n+1). 

 

Pola Garis Lurus

Pola garis lurus yaitu suatu bilangan yang digambarkan dengan noktah mengikuti pola garis lurus.

Contoh :

 

Pola Persegi Panjang

Berdasarkan pola di atas, terbentuk pola persegi panjang dengan susunan bilangan 2, 6, 12, 20. 

Rumus bilangan ke-n pada pola persegi panjang, yaitu: n(n+1). 

Sedangkan jumlah n suku pertamanya, yaitu:

 

Pola Persegi

Berdasarkan pola di atas, terbentuk pola persegi panjang dengan susunan bilangan 2, 6, 12, 20. 

Rumus bilangan ke-n pada pola persegi panjang, yaitu: n(n+1). 

Sedangkan jumlah n suku pertamanya, yaitu:

 

Pola Segitiga

Berdasarkan pola di atas, terbentuk pola segitiga  dengan susunan bilangan 2, 6, 12, 20. 

Rumus bilangan ke-n pada pola persegi panjang, yaitu: n2. 

Sedangkan jumlah n suku pertamanya, yaitu:

 

Pola Segitiga Pascal

Pola di atas merupakan pola dari segitiga pascal. Segitiga pascal digunakan untuk menentukan koefisien dari polinomial. 

Koefisiennya dapat ditentukan dengan rumus : (a+b)n

Sedangkan jumlah bilangan pada segitiga pascal baris ke-n, yaitu: 2n-1.

Barisan Bilangan

Barisan bilangan yaitu bilangan-bilangan yang diurutkan dengan aturan tertentu. Barisan bilangan terdiri atas beberapa suku yang dipisahkan dengan tanda koma (,). 

Barisan bilangan dapat dinyatakan sebagai:  U1, U2, U3, U4, ... .

Contoh dari barisan bilangan:
3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, ...
80, 40, 20, 10, 5, ...

Berdasarkan banyaknya suku, barisan bilangan dapat dikelompokkan menjadi:

  • Barisan berhingga, yaitu barisan yang memiliki banyak suku dengan jumlah tertentu.
  • Barisan tak berhingga, yaitu barisan yang banyak sukunya tak terhitung jumlahnya.

Catatan:

Barisan dan deret dapat dibedakan dari tandanya, barisan menggunakan tanda koma (,), sedangkan deret menggunakan tanda penjumlahan (+).

Latihan 1

Jawablah soal berikut!

Diketahui suatu barisan: 2, 3, 5, 8, ...

Dua suku berikutnya dari barisan tersebut adalah ....

A. 9 dan 10

B. 9 dan 11

C. 10 dan 11

D. 12 dan 17

E. 13 dan 19

Latihan 2

Jawablah soal berikut!

Rumus jumlah n suku pertama dari pola persegi panjang yaitu ....

A. n2

B. n(n+1)

C. 1/3 n(n+1)(n+2)

D. 1/6 n(n+1)(n+2)

E. 1/6 n(n+1)(2n+2)

Latihan 3

Jawablah soal berikut!

1, 6, p, 16, 21, q, r, ...

Berdasarkan barisan bilangan di atas, nilai dari p, q, dan r  berturut-turut adalah ....

A. 7, 22, 24

B. 8, 23, 27

C. 9, 24, 26

D. 10, 25, 29

E. 11, 26, 31

Latihan 4

Jawablah soal berikut!

Rumus ½ n(n+1) digunakan untuk menentukan nilai bilangan ke-n pada pola ....

A. Pola Garis Lurus

B. Pola Segitiga

C. Pola Persegi

D. Pola Persegi Panjang

E. Pola Segitiga Pascal

Latihan 5

Jawablah soal berikut!

Diketahui barisan bilangan: 9, 6, 3, 0, -3, ...

Suku pertama dan beda pada barisan tersebut adalah ....

A. 9 dan -3

B. 9 dan 3

C. 6 dan -3

D. -3 dan 3

E. -3 dan -3

Barisan Aritmetika

Sumber: m4th-lab.net

Barisan dan deret yang sudah kita pelajari sebelumnya akan kita bahas kembali pada materi kali ini.

Seperti yang Sobat Pintar ketahui bahwa suatu barisan ataupun deret terbentuk oleh aturan tertentu yang dikelompokkan menjadi dua, yaitu: Aritmetika dan Geometri.

Kita akan belajar mengenai barisan dan deret aritmetika terlebih dahulu ya, Sobat Pintar.

Barisan Aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki beda atau selisih tetap antara dua suku yang berurutan.

Rumus untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika dapat dituliskan:

Un = a + (n – 1)b

Keterangan:

Un = Suku ke-n

a = suku pertama

b = beda / selisih

n = banyaknya suku

 

Beda atau selisih dari barisan aritmetika dapat dicari dengan cara:

b = Un – Un-1

Deret Aritmetika

Deret Aritmetika adalah penjumlahan suku-suku pada pada barisan aritmetika.

Deret Aritmetika dapat dinyatakan:

U1 + U2 + U3 + U4 + ...

Rumus untuk menentukan jumlah suku ke-n pada deret aritmetika, yaitu:

Keterangan:

Sn = jumlah n suku pertama

n = banyaknya suku

a = suku pertama

b = beda/selisih

Un = suku ke-n

Suku Tengah dan Sisipan Bilangan pada Barisan Aritmetika

Suku tengah dari suatu barisan aritmetika yang berhingga dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut:

dengan U2k-1 adalah letak suku tengah

Jika dalam suatu barisan aritmetika disisipkan k bilangan maka akan diperoleh beda yang baru, dapat ditentukan dengan cara berikut:

dengan y dan x adalah dua bilangan yang akan disisipkan k buah bilangan.

Latihan 1

Jawablah soal berikut!

Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah ….

A. 840

B. 660

C. 640

D. 630

E. 315

Latihan 2

Jawablah soal berikut!

Diketahui suatu barisan aritmatika dengan U3 + U9 + U11 = 75. Suku tengah barisan tersebut adalah 68 dan banyak sukunya 43, maka U43 adalah ....

A. 218

B. 208

C. 134

D. 132

E. 131

Latihan 3

Jawablah soal berikut!

Suku ketiga dan ketujuh dari suatu barisan aritmatika adalah 92 dan 76. Maka suku ke-15 pada barisan tersebut adalah....

A. 140

B. 100

C. 56

D. 44

E. 40

Latihan 4

Jawablah soal berikut!

Jumlah suku kedua dan kelima barisan artimatika adalah 29. Jika suku ke 8 = 37, maka suku ke 21 adalah ....

A. 102

B. 101

C. 100

D. 99

E. 98

Latihan 5

Jawablah soal berikut!

Seorang penjahit akan diberikan upah sebesar Rp 25.000,00 pada pakaian pertama yang dihasilkan. Penjahit akan mendapatkan tambahan upah setiap menghasilkan pakaian baru dalam sehari. Jika dalam sehari penjahit bisa menyelesaikan 10 pakaian, Ia akan menerima upah Rp 475.000,00. Upah yang diterima penjahit jika Ia hanya bisa menyelesaikan 6 pakaian adalah ....

A. Rp 375.000,-

B. Rp 350.000,-

C. Rp 325.000,-

D. Rp 300.000,-

E. Rp 275.000,-

Barisan Geometri

Sumber : materimatematika.com

Bola yang memantul semakin lama tinggi pantulannya akan semakin berkurang, hal ini akan membentuk sebuah pola barisan geometri lho, Sobat Pintar!

Jadi barisan geometri sendiri itu apa sih?

Yuk, langsung simak pembahasannya ya!

Barisan Geometri adalah barisan bilangan dimana dua suku yang berurutan memiliki perbandingan yang bernilai tetap.Perbandingan dalam barisan geometri disebut rasio (r).

Barisan geometri dapat dinyatakan sebagai berikut:

Un = a.rn-1

Keterangan :

Un = suku ke-n

a = suku pertama

r = rasio

n = banyaknya suku

Rasio dari barisan geometri dapat dicari dengan cara:

Deret Geometri

Selain barisan, terdapat juga deret geometri. Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan geometri.

Sama seperti deret aritmetika, deret geometri jika dinyatakan yaitu :

U1 + U2 + U3 + U4 + ...

Rumus yang digunakan untuk menentukan jumlah n suku dari deret geometri, yaitu:

Keterangan:

Sn = jumlah n suku pertama

a = suku pertama

r = rasio

n = banyaknya suku

Deret Geometri Tak Hingga

Berbeda dengan deret geometri sebelumnya yang memiliki banyak suku yang berhingga, deret geometri tak hingga merupakan penjumlahan dari suku-suku pada barisan geometri dengan rasio tertentu yang banyak sukunya tak terhitung.

Rumus untuk menentukan jumlah deret geometri tak hingga, yaitu:

Suatu deret geometri tak hingga akan konvergen jika memiliki jumlah untuk -1 < r < 1.

  • Jika diketahui suatu deret a + ar2 + ar4 + ... maka jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil, yaitu:

  • Jika diketahui suatu deret a + ar3 + ar5 + ... maka jumlah suku-suku pada kedudukan genap, yaitu:

 

Suku Tengah dan Sisipan Bilangan pada Barisan Geometri

Rumus yang digunakan untuk menentukan suku tengah dari barisan geometri, yaitu:

Jika pada barisan geometri disisipkan k bilangan maka akan diperoleh rasio yang baru, yaitu:

dengan x dan y adalah dua bilangan yang akan disisipkan k buah bilangan.

Latihan 1

Jawablah soal berikut!

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 2

Jawablah soal berikut!

Barisan geometri dengan suku ke-5 adalah 1/3 dan rasio = 1/3, maka suku ke-9 barisan geometri tersebut adalah ….

A. 27

B. 9

C. 1/27

D. 1/81

E. 1/243

Latihan 3

Jawablah soal berikut!

Suku pertama pada barisan geometri adalah 1600. Jika suku ketiga pada barisan tersebut adalah 25, maka rasionya yaitu ....

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 4

Jawablah soal berikut!

Pada deret geometri 400+200+100+ ... + ... . Berapa jumlah 5 suku pertama deret geometri tersebut ....

A. 25

B. 75

C. 100

D. 550

E. 775

Latihan 5

Jawablah soal berikut!

Penularan virus corona pada hari ke 5 setelah masuk ke suatu negara berjumlah 12500. Apabila setiap harinya terdapat lima kali lipat jumlah oraang yang terpapar virus tersebut, maka setelah satu minggu, jumlah orang yang terpapar virus tersebut adalah ....

A. 1.562.500

B. 312.500

C. 156.250

D. 78.125

E. 62.500

Pertumbuhan dan Peluruhan

Menurut Sobat Pintar, semenjak adanya pandemi covid-19 membuat tingkat kematian penduduk Indonesia menjadi semakin bertambah atau berkurang ya? Atau bahkan semakin banyak bayi yang lahir saat pandemi ini berlangsung?

Nah suatu barisan sendiri dapat bermanfaat untuk menghitung tingkat kematian maupun kelahiran penduduk Indonesia lho, Sobat!

Kita bisa mengetahui kematian atau kelahiran mengalami pertumbuhan atau peluruhan. Seperti materi yang akan kita bahas kali ini, salah satu aplikasi dari barisan adalah mengenai pertumbuhan dan peluruhan.

Yuk, langsung simak pembahasannya ya!

PERTUMBUHAN

Pertumbuhan merupakan konsep barisan aritmetika maupun geometri yang naik, dapat dituliskan:

U1 < U2 < U3 < U4 < ... < Un

Rumus untuk menentukan pertumbuhan setelah tahun ke-n, yaitu:

  1. Jika diketahui persentase (i): An = Ao (1+i)n
  2. Jika diketahui rasio: An = Ao(r)n  dengan r > 1

Keterangan:

Ao = Jumlah objek awal

An = Jumlah objek setelah tahun ke-n

i = persentase pertumbuhan

r = rasio pertumbuhan

n = periode waktu

 

PELURUHAN

Peluruhan merupakan konsep barisan aritmetika maupun geometri yang turun, dapat dituliskan:

U1 > U2 > U3 > U4 > ... > Un

Rumus untuk menentukan peluruhan setelah tahun ke-n, yaitu:

An = Ao ( 1 – i )n

Khusus untuk menentukan peluruhan dari radioaktif, digunakan rumus:

Keterangan

An = Jumlah objek setelah periode ke-n

Ao = Jumlah objek awal

i = persentase peluruhan

n = periode waktu

Bunga Majemuk

Bunga majemuk sering kita jumpai dalam bidang perbankan. Berbeda dengan bunga tunggal, nilai dari bunga majemuk diperoleh dari nilai modal dengan bunga sebelumnya.

Rumus untuk menentukan modal akhir dengan bunga majemuk, yaitu:

Mn = Mo(1+i)n

Keterangan:

Mn = Modal akhir setelah tahun ke-n

Mo = Modal awal

i = persentase bunga majemuk

n = periode bunga majemuk

Anuitas

Anuitas sering digunakan dalam sistem angsuran kredit (bank, rumah, kendaraan bermotor). Terdapat dua jenis anuitas, yaitu:

  • Anuitas pasti, terdapat pada sistem perbankan
  • Anuitas tidak pasti, terdapat pada sistem asuransi

Rumus yang digunakan untuk menentukan besarnya anuitas, yaitu:

Keterangan:

A = Anuitas

M = Modal Pinjaman

i = persentase suku bunga

n = periode pinjaman

Latihan 1

Jawablah soal berikut!

Berdasarkan survei, populasi hewan A bertambah 2% dari populasi sebelumnya setiap 3 tahun. Jika pada tahun 2020 populasi hewan A sebanyak 500 ekor, berapakah populasi hewan tersebut pada 15 tahun yang akan datang?

A. 563

B. 552

C. 541

D. 530

E. 520

Latihan 2

Jawablah soal berikut!

Suatu unsur radioaktif meluruh dalam waktu 72 hari dengan waktu paruh 12 hari, massa awal unsur tersebut jika massa yang tersisa 10 gram adalah ....

A. 120 gram

B. 240 gram

C. 360 gram

D. 640 gram

E. 720 gram

Latihan 3

Jawablah soal berikut!

Bintang membeli rumah dengan menggunakan sistem anuitas pada pembayaran kreditnya. Harga rumah tersebut adalah Rp 500.000.000,- dengan suku bunga 3% per tahun. Bintang berniat melunasi kreditnya dengan 10 kali anuitas. Besar anuitas yang harus dibayar Bintang adalah ....

A. Rp 58.616.647,-

B. Rp 43.615.253,-

C. Rp 11.161.408,-

D. Rp 5.158.745,-

E. Rp 3.838.500,-

Latihan 4

Jawablah soal berikut!

Suatu neutron dapat dipecah menjadi proton dan elektron. Seorang peneliti memiliki 100.000 neutron, setelah 5 menit ia mengamati kembali  neutron tersebut. Jika 10% dari neutron tersebut berubah pada akhir satu menit, jumlah neutron ketika diamati kembali oleh peneliti adalah ....

A. 2.476.099

B. 161.051

C. 59.049

D. 32.467

E. 1

Latihan 5

Jawablah soal berikut!

Indah menabung di sebuah bank sebesar Rp 20.000.000 dan memperoleh bunga 2,5% per tahun. Jika Indah tidak pernah menarik uang di bank selama 5 tahun, maka bunga yang diperoleh Indah dalam kurun waktu tersebut yaitu ....

A. Rp 61.035.156,-

B. Rp 41.035.156,-

C. Rp 22.628.164,-

D. Rp 22.081.616,-

E. Rp 2.628.164,-

redesain-navbar Portlet