redesain-navbar Portlet

BelajarPintarV3

Peta Belajar Bersama

Pengertian Matriks

Sumber : desainrumah.modebaca.com

Halo, sobat pintar! Pernahkah kalian memperhatikan denah ruang kelasmu? Ada berapa baris bangku siswa? Ada berapa kolom bangku siswa?

Materi yang akan kita pelajari hari ini akan berhubungan dengan baris dan kolom lho, Sobat Pintar!

Ya! Kita akan belajar tentang matriks. Apa sih matriks itu? 

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris (jajaran) dan kolom (lajur) dengan dibatasi oleh kurung biasa “()” atau kurung siku “[]”.

Bilangan-bilangan yang tersusun dalam matriks disebut elemen (unsur) matriks. Baris sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar (horizontal), sedangkan kolom adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak (vertikal).

Jika suatu matriks diberi nama matriks A, maka secara umum, bentuk matriks A yaitu

Aixj artinya matriks A mempunyai baris sebanyak m dan mempunyai kolom sebanyak n.
a11 elemen baris pertama kolom pertama
a12 elemen baris pertama kolom kedua
a1j = elemen baris pertama kolom ke-j
a21 = elemen baris kedua kolom pertama

.

.

.

aij = elemen baris ke-kolom ke-j
 

Ordo Matriks

Setelah kita mengetahui apa itu matriks, selanjutnya kita juga perlu tahu tentang ordo matriks. Apa itu ordo matriks?

Ordo matriks adalah banyaknya elemen baris dan banyaknya elemen kolom dari suatu matriks.  Jika sebuah matriks memiliki m baris dan n kolom, maka matriks tersebut berordo m x n dituliskan Amxn.

Jenis-Jenis Matriks

Ternyata matriks tidak hanya satu jenis loh, Sobat. Matriks dapat dikelompokkan menjadi beberapa jenis sebagai berikut

  • Matriks nol, yaitu matriks yang seluruh elemennya bilangan nol. Contoh :

  • Matriks baris, yaitu matriks yang hanya memiliki satu baris atau berordo 1 x n. Contoh : 

  • Matriks kolom, yaitu matriks yang hanya memiliki satu kolom atau berordo m x 1. Contoh : 

  • Matriks persegi, yaitu matriks yang banyaknya baris dan kolom sama atau berordo m x m. Contoh : 

  • Matriks diagonal, yaitu matriks persegi yang semua elemennya nol, kecuali elemen pada diagonal utamanya bukan nol. Contoh :

  • Matriks segitiga atas, yaitu matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utamanya adalah nol. Contoh : 

  • Matriks segitiga bawah, yaitu matriks persegi yang semua elemen di atas diagonal utamanya adalah nol. Contoh :

  • Matriks identitas, yaitu matriks persegi yang elemen pada diagonal utamanya adalah satu, sedangkan elemen lainnya adalah nol. Matriks identitas dilambangkan dengan “I”. Contoh :

Kesamaan Dua Matriks

Dua matriks dikatakan sama (A=B), apabila mempunyai ordo yang sama dan elemen-elemen yang letaknya sama (bersesuaian) besarnya sama atau aij = bij.

Contoh :

Matriks A=B karena ordo dan elemen yang letaknya bersesuaian besarnya sama. Matriks C=D karena ordo dan elemen yang seletak dari kedua matriks sama. Matriks A tidak sama dengan C karena meskipun memiliki ordo yang sama, tetapi letak elemen yang sama tidak sesuai.

Bagaimana, Sobat Pintar? Mudah bukan?

Yuk kita asah pemahamanmu dengan latihan soal.
 

Latihan 1

Jawablah soal berikut ini!

Berikut ini yang termasuk matriks berordo 2x3 adalah ....

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 2

Jawablah soal berikut ini!

Berikut ini yang merupakan matriks segitiga atas adalah ....

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 3

Jawablah soal berikut ini!

Diketahui dua matriks

Jika A=B maka nilai 3p+2q-5r adalah....

A. -10

B. -1

C. 0

D. 6

E. 8

Latihan 4

Jawablah soal berikut ini!

yang merupakan a23 adalah ....

A. 3

B. 5

C. 1

D. 7

E. -2

Latihan 5

Jawablah soal berikut ini!

Nilai dari X - Yt adalah ....

A.

B.

C.

D.

E.

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Ternyata matriks juga dapat dioperasikan lho, Sobat. Operasi aljabar pada matriks hanya sebatas penjumlahan, pengurangan, perkalian dan ada juga operasi aljabar khusus yang hanya diterapkan pada matriks. Operasi apa itu? Simak sampai selesai ya!

Penjumlahan Matriks

Jika terdapat dua matriks, misal matriks A dan B, yang memiliki ordo sama, maka elemen-elemen yang seletak dapat dijumlahkan. Jumlah A dan B dapat dinyatakan dengan A+B.

Contoh :

Jika A, B, C merupakan matriks dengan ordo yang sama, maka berlaku sifat penjumlahan, yaitu:

  1. Komutatif : A+B = B+A
  2. Asosiatif : (A+B)+C = A+(B+C)
  3. Identitas : A+O = O+A = A, dengan O adalah matriks nol
  4. (A+B)t = At + Bt

Pengurangan Matriks

Jika terdapat dua matriks, misal matriks A dan B, yang memiliki ordo sama, maka elemen-elemen yang seletak dapat dikurangkan. Pengurangan A dan B dapat dinyatakan dengan A – B atau A + (– B).

Contoh :

Jika A, B, C merupakan matriks dengan ordo yang sama, maka berlaku sifat pengurangan, yaitu:

  1. A – A = O, dengan O adalah matriks nol
  2. Identitas : A – O = A
  3. (A – B)t = At – B

Perkalian Matriks

Yuk kita lanjutkan dengan operasi perkalian pada matriks!

Perkalian Skalar pada Matriks

Jika diketahui A merupakan suatu matriks dan K merupakan bilangan real, maka hasil perkalian K dengan matriks A adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan K. Misalnya,

Apabila A dan B merupakan matriks dengan ordo yang sama dan k, m merupakan bilangan real, maka berlaku:

  1. (k+m)A = k.A + m.A
  2. k(A+B) = k.A + k.B
  3. (-1)A = A (-1) = -A, dengan –A adalah negatif dari matriks A
  4. k(m.A) = (k.m)A
  5. (kA)t = k . At

Perkalian Antar Matriks

Dua buah matriks, misal matriks A dan B, dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B. Bentuk perkalian antar matriks secara umum, yaitu:

Untuk mencari hasil kali matriks A dengan matriks B ialah mengalikan elemen pada baris-baris matriks A dengan elemen pada kolom-kolom matriks B kemudian jumlahkan hasil perkalian antara baris dan kolom tersebut.

Pemangkatan Matriks

Pemangkatan matriks hanya berlaku pada matriks persegi. Jika A merupakan matriks persegi dan n, x, y adalah bilangan bulat maka berlaku:

  1. AxAy = A(x+y)
  2. (Ax)y = Ax.y
  3. An = A.An-1 , dengan n>0
  4. A0 = 1

Transpose Matriks

Nah! Ini dia operasi aljabar yang hanya berlaku pada matriks, Sobat. Menurut kalian transpose itu apa ya artinya?

Transpose suatu matriks, misal matriks A, yang dilambangkan dengan At adalah sebuah matriks yang disusun dengan cara menukarkan baris matriks A menjadi kolom matriks At dan kolom matriks A menjadi baris matriks At.

Contoh :

Latihan 1

Jawablah soal berikut ini!

Diketahui dua buah matriks:


 
Tentukan nilai dari 3A - 2B = ….

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 2

Jawablah soal berikut ini!

Jika A = B maka nilai dari a + x + y adalah ….

A. 6,5

B. 5,2

C. 5

D. 3

E. 2,5

Latihan 3

Jawablah soal berikut ini!

Matriks  2A + 3B – C yaitu ....

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 4

Jawablah soal berikut ini!

Hasil perkalian matriks A x 2B x C adalah ....

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 5

Jawablah soal berikut ini!

Jika A=Bt maka nilai p+q adalah ....

A. -4

B. 4

C. 0

D. -3

E. -8

Determinan Matriks

Apakah Sobat Pintar pernah mendengar istilah determinan dan invers sebelumnya? Kalau belum, berarti inilah saat yang tepat untuk mengetahui apa itu determinan dan invers matriks.

Determinan suatu matriks didefinisikan sebagai selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. Determinan matriks hanya dapat ditentukan pada matriks persegi. Determinan dari matriks A dapat dituliskan det(A) atau |A|.

Berikut ini sifat-sifat dari determinan matriks:

  1. Nilai determinan matriks tidak berubah apabila baris dan kolomnya saling ditukar.
  2. Jika semua elemen pada salah satu baris atau kolom sebuah matriks adalah nol, maka determinannya sama dengan nol.
  3. Jika dua baris atau dua kolom dari sebuah matriks ditukar, maka tanda determinannya akan berubah.
  4. Jika dua baris atau dua kolom dari sebuah matriks elemennya sama atau merupakan kelipatannya, maka determinannya sama dengan nol.
  5. Jika setiap elemen pada baris atau kolom dikali oleh bilangan real k, maka determinannya bernilai k kali determinan matriks awal.
  6. Jika masing-masing elemen pada baris atau kolom dinyatakan sebagai jumlah dua suku, maka determinan matriks tersebut merupakan jumlah kedua determinan.
  7. Nilai sebuah determinan tidak berubah apabila masing-masing elemen pada baris atau kolom dikali dengan bilangan real k dan ditambahkan pada sebarang baris atau kolom.

Determinan Matriks Ordo 2x2

Determinan matriks persegi dengan ordo 2x2 dapat dihitung dengan cara berikut:

Determinan Matriks Ordo 3x3

Diketahui matriks A dengan ordo 3x3 sebagai berikut:

Determinan matriks persegi dengan ordo 3x3 dapat dicari dengan menggunakan 2 cara, yaitu:

Kaidah Sarrus

Langkah-langkah mencari determinan matriks ordo 3x3 dengan kaidah Sarrus:

  1. Meletakkan kolom pertama dan kolom kedua di sebelah kanan garis vertikal determinan
  2. Jumlahkan hasil kali elemen-elemen yang terletak pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen yang sejajar diagonal utama pada arah kanan kemudian kurangi dengan jumlah hasil kali elemen-elemen yang terletak pada diagonal samping dengan elemen-elemen yang sejajar dengan diagonal samping

|A| = (a.e.i) + (b.f.g) +( c.d.h) – (c.e.g) – (a.f.h) – (b.d.i)

|A| = (a.e.i + b.f.g + c.d.h) – (c.e.g + a.f.h + b.d.i)

Ekspansi Kofaktor dan Minor

Apabila diketahui sebuah matriks persegi A maka minor elemen aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan sebagai determinan submatriks yang tinggal setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari matriks A

dapat dicari dengan menghilangkan baris kedua dan kolom ketiga sehingga diperoleh:

dan nilai determinannya adalah

Sedangkan kofaktor dari sebuah elemen adalah nilai minor beserta tandanya. Tanda dari determinan ditentukan dengan memberikan tanda positif (+) pada elemen baris pertama kolom pertama diikuti perubahan tanda ke bawah (vertikal) dan ke kanan (horizontal).

Contoh :

Menggunakan ekspansi kofaktor pada kolom ke 2 diperoleh:

Invers Matriks

Sobat pintar pasti pernah tahu tentang invers suatu fungsi, bukan?

Invers matriks ini sedikit berbeda dengan invers fungsi.

Yuk simak penjelasannya berikut!

Invers matriks dilambangkan dengan A-1. Suatu matriks dikatakan memiliki invers jika determinan dari matriks tersebut tidak sama dengan nol

Invers Matriks Ordo 2x2

Invers matriks persegi dengan ordo 2x2 dapat dicari dengan cara sebagai berikut:

Invers Matriks Ordo 3x3

Untuk mencari invers matriks pada ordo 3x3 menggunakan metode eliminasi Gauss Jordan.

Secara sistematis, eliminasi Gauss Jordan dapat dinyatakan sebagai berikut:

Jadi matriks persegi A dieliminasi menggunakan operasi aljabar sampai membentuk matriks identitas. Operasi yang dilakukan pada matriks A juga dilakukan pada matriks identitas sehingga jika matriks A sudah menjadi matriks identitas, matriks identitas akan berubah menjadi invers dari matriks A.

Latihan 1

Jawablah soal berikut ini!

Diketahui dua buah matriks:

Jika AX = B, tentukan matriks X!

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 2

Jawablah soal berikut ini!

Diketahui sebuah matriks

Invers dari matriks diatas adalah ....

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 3

Jawablah soal berikut ini!

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 4

Jawablah soal berikut ini!

Jika AT=B-1, maka nilai 2x adalah ….

A. -8

B. -4

C. 0

D. 4

E. 8

Latihan 5

Jawablah soal berikut ini!

Jika determinan dari B-1=4, maka determinan B adalah….

A. -4

B. -2

C. 1/4

D. 1/2

E. 2

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Determinan

Menyelesaikan SPLDV dengan Determinan

Loh, kita kan sedang belajar matriks. Kok ada Sistem Persamaan Linear ya?

Eitss.. Kalian belum tahu kalau Sistem Persamaan Linear baik dua variabel ataupun tiga variabel dapat kita selesaikan dengan matriks lho!

Permasalahan SPLDV dapat diselesaikan dengan metode Cramer yaitu menggunakan determinan. 

maka dapat diubah menjadi:

Menyelesaikan SPLTV dengan Determinan

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Invers

Dengan prinsip perkalian dua matriks, 

Untuk menentukan x dan y menggunakan invers matriks dapat dicari dengan rumus:

Latihan 1

Jawablah soal berikut ini!

Jika AX=A-1 maka X adalah ....

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 2

Jawablah soal berikut ini!

Nilai dari x+y adalah ....

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5

Latihan 3

Jawablah soal berikut ini!

nilai dari x+y+z adalah ....

A. -30

B. 30

C. -35

D. -40

E. 40

Latihan 4

Jawablah soal berikut ini!

nilai dari x+y-z adalah ....

A. 8

B. 6

C. 4

D. 0

E. -8

Latihan 5

Jawablah soal berikut ini !

nilai dari x-y-z adalah ....

A. -2

B. 0

C. 1

D. 4

E. 6

redesain-navbar Portlet