redesain-navbar Portlet

BelajarPintarV3

Peta Belajar Bersama

Notasi Sigma

Sumber : Utusanindo.com

Berapa jumlah siswa dalam kelas kalian, Sobat Pintar?

Apakah jumlahnya sama dengan kelas sebelah atau berbeda? Kalau jumlah seluruh siswa di sekolahmu, berapa Sobat? Pasti banyak sekali! Materi yang akan kita bahas akan berhubungan dengan penjumlahan.

Halo, Sobat Pintar! Kali ini kita akan membahas mengenai notasi sigma. Apa itu notasi sigma?

Notasi sigma merupakan huruf kapital “S” pada bahasa Yunani dari kata “Sum” yang berarti jumlah.

dibaca “Sigma ak dari k = 1 sampai n sama dengan a1 ditambah a2 ditambah a3 dan seterusnya sampai ditambah an

Keterangan:
a= Suku pertama
a= Suku kedua, dst
a= Suku ke-n
k=1 merupakan batas bawah notasi sigma
n merupakan batas atas notasi sigma
ak= fungsi yang dijumlahkan dari batas bawah sampai batas atas

Menurut kalian, apa yang akan terjadi jika batas atas atau batas bawahnya digeser?

Jika batas atas k=n digeser menjadi k=n-1 dengan batas bawah tetap k=1, maka banyaknya suku akan berkurang, yaitu terdapat n-1 suku yang dijumlahkan (begitu pula sebaliknya)

Sifat-Sifat Notasi Sigma

Bentuk penjumlahan yang dituliskan dengan notasi sigma memiliki beberapa sifat seperti berikut ini

Latihan 1

Jawablah pertanyaan berikut dengan tepat!

Deret 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 + 30 dapat dituliskan dengan notasi sigma ….

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 2

Jawablah soal berikut dengan tepat!

Deret 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 dapat dituliskan dengan notasi sigma …. 

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 3

Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan tepat!

A. 25

B. 35

C. 45

D. 55

E. 65

Latihan 4

Jawablah pertanyaan berikut ini!

A. 100

B. 75

C. 50

D. 45

E. 30

Latihan 5

Jawablah soal berikut ini dengan benar!

A. 52

B. 47

C. 36

D. 28

E. 15

Induksi Matematika

Setelah kita mempelajari mengenai notasi sigma, selanjutnya kita akan belajar tentang induksi matematika. 

Apakah Sobat Pintar tahu apa itu induksi matematika? Kalau belum tahu, yuk kita belajar bersama!

Induksi matematika merupakan suatu cara pembuktian untuk membuktikan rumus yang memuat variabel dan berlaku untuk setiap bilangan asli. Misalkan P(n) adalah suatu fungsi dalam bilangan bulat positif yang akan dibuktikan kebenarannya untuk setiap n bilangan asli.

Untuk membuktikan fungsi tersebut, kita perlu menunjukkan bahwa :

  • P(1) benar (basis Induksi)
  • Jika P(n) benar, maka P(n+1) juga benar untuk setiap n bilangan asli, sehingga P(n) bernilai benar ( langkah Induksi)

Implikasi P(n) –> P(n+1) benar untuk setiap bilangan bulat positif dapat ditunjukkan dengan memperlihatkan bahwa berdasarkan hipotesis P(n) benar maka P(n+1) juga harus benar. Langkah pembuktian P(n+1) bernilai benar disebut hipotesis induksi. Secara umum, langkah-langkah dalam induksi matematika dapat dijelaskan sebagai berikut

  1. Dibuktikan bahwa P(n) benar untuk n=1
  2. Diasumsikan bahwa P(n) benar untuk n=k
  3. Akan dibuktikan bahwa P(n) untuk n=k+1

Jika setiap langkah sudah dilakukan dan diuji kebenarannya, maka dapat ditarik kesimpulan bahwa P(n) berlaku untuk setiap n bilangan asli. Prinsip dari induksi matematika dapat diperluas, misalkan P(n) suatu pernyataan yang mana kebenarannya ditentukan oleh nilai n.

Jika P(n) memenuhi dua sifat berikut

  • P(n) benar untuk n=m
  • untuk setiap bilangan asli k lebih dari sama dengan m, jika P(k) bernilai benar, maka P(k+1) juga bernilai benar, sehingga P(n) bernilai benar untuk semua bilangan asli yang lebih atau sama dengan m

Bentuk-Bentuk Penerapan Induksi Matematika

Induksi matematika dapat diterapkan tidak hanya pada deret bilangan lho, Sobat Pintar! Induksi matematika juga dapat diterapkan pada pernyataan dengan beberapa bentuk sebagai berikut

PENERAPAN INDUKSI MATEMATIKA PADA DERET BILANGAN

Deret bilangan terdiri atas deret bilangan ganjil, deret bilangan genap, deret bilangan asli, deret kuadrat bilangan asli dan sebagainya. Perumusan deret-deret tersebut secara tidak langsung dapat dibuktikan dengan prinsip induksi matematika.

Berikut contoh pembuktian deret bilangan dengan induksi matematika

Buktikan bahwa 2+4+6+ ... + 2n = n(n+1)!

Untuk n=1, maka

2. 2= 1(1+1)

2  = 1.2

2 = 2        Terbukti Benar

Andaikan n=k benar, maka

2+4+6+...+ 2k = k(k+1)

Akan di buktikan n=k+1 benar

2+4+6+...+2(k+1) = (k+1)(k+1+1)

2+4+6+...+2k+2(k+1) = (k+1)(k+1+1)

k(k+1)+2(k+1) = (k+1)(k+1+1)

k2+k+2k+1 = (k+1)(k+2)

k2+3k+1 = (k+1)(k+2)

(k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)

Karena (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2), maka pernyataan 2+4+6+ ... + 2n = n(n+1) Benar
 

PENERAPAN INDUKSI MATEMATIKA PADA KETERBAGIAN

Pernyataan matematis berupa keterbagian dapat dibuktikan dengan prinsip induksi matematika.

Pernyataan “a habis dibagi b” yang bersinonim dengan a kelipatan b, b faktor dari a, dan b membagi a.

Apabila p habis dibagi a serta q habis dibagi a, maka (p + q) juga akan habis dibagi a. Misalnya, 4 habis dibagi 2 dan 6 habis dibagi 2, maka (4 + 6) juga akan habis dibagi 2.

Berikut ini contoh keterbagian yang dibuktikan dengan induksi matematika.

Dengan induksi matematika, tunjukkan bahwa 11n – 6 habis dibagi 5 !

Untuk n=1, maka

111 – 6 = 11 – 6 = 5 = 5.(1) benar

Andaikan n=k benar, maka

11k – 6 = 5m
11k = 5m + 6

Akan di buktikan n=k+1 benar

11k+1 – 6 = 11k. 211 – 6 

= (5m+6).11 – 6  

= 55m +66 – 6 

= 55m +60

= 5(11m + 12) benar

Jadi pernyataan 11n – 6 habis dibagi 5 adalah benar

PENERAPAN INDUKSI MATEMATIKA PADA KETIDAKSAMAAN

Berikut merupakan beberapa sifat pertidaksamaan yang sering dipakai, antara lain:

  • Sifat Transitif : a > b > c maka a > c  atau a < b < c maka a < c
  • a < b dan c > 0 maka ac < bc  atau  a > b dan c > 0 maka ac > bc
  • a < b maka a + c < b + c  atau a > b maka a + c > b + c

Penerapan induksi matematika pada ketidaksamaan dapat dijelaskan pada contoh berikut

Latihan 1

Jawablah soal berikut!

Diketahui deret bilangan genap 2+4+6+8+...+2n. Dengan induksi matematika, formula yang tepat pada deret tersebut adalah ....

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 2

Jawablah soal berikut dengan tepat!

Dengan induksi matematika, rumus penjumlahan dari deret bilangan asli adalah ....

A. n

B. n+1

C. n(n+1)

D. ½ n(n+1)

E. n(n+1)(n+2)

Latihan 3

Jawablah soal berikut!

Dengan induksi matematika, 4n-1 merupakan kelipatan dari ....

A. 13

B. 11

C. 7

D. 5

E. 3

Latihan 4

Jawablah soal berikut dengan tepat!

Dengan induksi matematika untuk S(k+1), formula dari deret bilangan ganjil pertama 1+3+5+...+(2n-1)= n2 adalah ....

A. k+1

B. (k+1)(k+1)

C. k+2

D. (k+1)(k+2)

E. k(k+1)(k+2)

Latihan 5

Jawablah soal di bawah ini dengan benar!

A.

B.

C.

D.

E.

redesain-navbar Portlet