redesain-navbar Portlet

BelajarPintarV3

Peta Belajar Bersama

Halo, Sobat Pintar!

Sebelum kita belajar mengenai materi TURUNAN, coba kalian perhatikan Peta Belajar Bersama di bawah ini dulu ya!

Konsep Turunan Fungsi

Sumber : androox.com

Sobat pintar pasti sudah sering mendengar istilah kecepatan, bukan?

Perlu kalian tahu nih, Sobat, kalau kecepatan merupakan salah satu aplikasi dari TURUNAN, lho!

Apa itu turunan? Turun dari tangga? Tentu bukan dong, hihi..

Yuk kita belajar bersama mengenai Turunan Fungsi Aljabar

MENENTUKAN GRADIEN GARIS SINGGUNG DENGAN LIMIT

Sebelum kita membahas apa itu turunan serta bagaimana konsepnya, kita akan mengingat materi limit terlebih dahulu, karena

materi turunan berkaitan erat dengan limit suatu fungsi.

Coba perhatikan gambar ini ya, Sobat!

Gradien dari garis sekan yang melalui titik A (x,f(x)) dan titik B(x+h,f(x+h)) dapat dituliskan sebagai berikut:

Jika nilai x semakin kecil, maka garis akan membentuk garis singgung sehingga diperoleh gradien garis singgungnya di titik A(x,f(x)), yaitu :

dengan syarat mempunyai limit pada titik tersebut.

 

TURUNAN SEBAGAI LIMIT FUNGSI

Turunan dari suatu fungsi f(x) dapat didefinisikan dengan:

dengan syarat f(x) limitnya ada.

Beberapa notasi dari turunan suatu fungsi, yaitu:

Contoh :

Turunan Fungsi Aljabar

Selain menggunakan definisi turunan dengan limit fungsi, turunan suatu fungsi aljabar juga dapat diselesaikan dengan beberapa aturan berikut.

Menggambar Grafik Suatu Kurva

Grafik suatu fungsi f(x) dapat digambarkan grafiknya pada koordinat cartesius dengan langkah-langkah berikut:

  1. Menentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu-x atau sumbu-y).
  2. Menentukan titik stasioner dan jenisnya (titik balik maksimum, titik balik minimum, atau titik belok).
  3. Menentukan nilai-nilai ujung interval apabila digambar dalam interval tertutup.
  4. Menentukan nilai fungsi untuk x besar positif dan untuk x besar negatif apabila digambar untuk x elemen bilangan rasional.
  5. Hubungkan titik-titik yang sudah ditentukan sehingga membentuk suatu kurva.

Catatan :

Untuk menggambar grafik suatu kurva, kalian harus sudah mempelajari mengenai titik balik, kurva naik atau turun.

Latihan 1

Jawablah soal berikut dengan tepat!

Turunan pertama dari 2x3 + x2 - 5x + 1 yaitu ….

A. 2x+ x - 5

B. 6x+ 2x - 5

C. 2x- 5x + 1

D. 6x+ x + 1

E. 6x3 + 2x2 - 5x + 1

Latihan 2

Jawablah soal di bawah ini dengan tepat!

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 3

Jawablah soal berikut ini!

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 4

Jawablah soal berikut ini dengan tepat!

Turunan dari fungsi (2x-5)(x3+3x2-7) adalah ....

A. 2x+ x- 15x - 14

B. 2x3 + x2 - 15x + 35

C. 8x+ 3x- 30x - 14

D. 8x+ 3x- 30x + 35

E. 8x+ x- 15x - 14

Latihan 5

Jawablah soal di bawah ini!

A. -18

B. -9

C. 0

D. 9

E. 18

Konsep Kemonotonan Fungsi

Sumber : Jawapos.com

Selain kecepatan, banyak sekali aplikasi dari turunan suatu fungsi lho, Sobat Pintar!

Salah satunya adalah kita dapat menggambarkan kurva yang berbentuk gelombang seperti pada gambar di atas.

Aplikasi turunan yang pertama adalah kemonotonan fungsi, maksudnya kita dapat menentukan suatu fungsi naik atau turun pada suatu interval tertentu.

Konsep kemonotonan fungsi dapat didefinisikan:

Hubungannya dengan turunan suatu fungsi diperlihatkan pada teorema berikut:

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi

NILAI STASIONER DAN TITIK STASIONER

Titik stasioner pada kurva y = f(x) merupakan sebuah titik pada kurva dengan gradien dari garis singgung kurva bernilai 0 (nol). Jika fungsi f(x) kontinu dan diferensiabel maka f(a) dikatakan NILAI STASIONER dari f(x) jika dan hanya jika f’(a)=0. Titik stasioner disebut juga titik kritis atau titik ekstrem atau titik balik.

Jenis-jenis ekstrem suatu fungsi

Turunan Pertama Fungsi

Jenis-jenis nilai stasioner dapat ditentukan dengan memperhatikan tanda f’(x) di sekitar  x = a

  • Jika f’(a-) < 0 dan f’(a+) > 0, maka f(a) merupakan nilai balik minimum
  • Jika f’(a-) > 0 dan f’(a+) < 0, maka f(a) merupakan nilai balik maksimum
  • Jika f’(a-) dan f’(a+) bertanda sama, maka f(a) merupakan nilai belok horizontal

Keterangan:

f’(a-) merupakan nilai f’(x) untuk x kurang dari a
f’(a+) merupakan nilai f’(x) untuk x lebih dari a

Turunan Kedua Fungsi

Titik (a,f(a)) dikatakan titik belok dari f(x) jika:

  1. f’(a) = 0
  2. f’’(a)=0

Dalam menentukan jenis ekstrem fungsi dapat menggunakan uji turunan kedua, yaitu:

  1. Jika f’’(a) < 0 maka f(a) adalah nilai balik maksimum fungsi f
  2. Jika f’’(a) > 0 maka f(a) adalah nilai balik minimum fungsi f
  3. Jika f’’(a) = 0 maka f(a) bukan nilai ekstrem fungsi f

 

NILAI MAKSIMUM ATAU MINIMUM FUNGSI PADA INTERVAL TERTENTU

Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi yang kontinus dan diferensiabel pada setiap titik di interval [a,b] dapat terjadi pada:

  • Titik stasioner yang berada pada interval [a,b]
  • Titik ujung interval

Dalam menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi dapat dilakukan langkah-langkah berikut:

  1. Menentukan titik stasioner pada fungsi f(x) yang berada pada interval [a,b].
  2. Menentukan nilai fungsi pada ujung interval, yaitu f(a) dan f(b).
  3. Membandingkan nilai fungsi pada langkah 1 dan 2. Nilai yang terbesar adalah nilai maksimum, sedangkan nilai terkecil adalah nilai minimum.

Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva

Persamaan garis lurus yang melalui titik P(x1,y1) dengan gradien m, yaitu : 

Gradien suatu fungsi yang melalui titik A (a,f(a)) dapat ditentukan dengan m = f’(a)

Jadi, PGS di titik A (a,f(a)) pada kurva adalah

Permasalahan dalam Kehidupan Nyata

MENENTUKAN KECEPATAN DAN PERCEPATAN

Jika diketahui sebuah benda bergerak menempuh jarak s = f(t), maka kecepatan dan percepatan benda tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut:

Kecepatan benda saat t detik (turunan pertama)

Percepatan benda saat t detik (turunan kedua)

 

MENENTUKAN LAJU PERUBAHAN NILAI FUNGSI TERHADAP VARIABEL BEBASNYA

Perubahan banyaknya suatu variabel bebas biasanya dinyatakan dengan sebuah fungsi, untuk menentukan laju perubahannya dapat menggunakan definisi dari turunan fungsi

Misalkan banyaknya populasi dari makhluk hidup setelah t tahun dinyatakan dengan fungsi f(t), maka laju perkembangan populasi setelah a tahun dapat dinyatakan dengan:

 

MENENTUKAN LAJU PERTAMBAHAN NILAI FUNGSI

Laju perubahan nilai fungsi y = f(x) terhadap x dapat dinyatakan dalam bentuk:

Berdasarkan aturan rantai, diketahui bahwa:

Rumus tersebut digunakan untuk menentukan laju pertambahan nilai fungsi y = f(x) seiring pertambahan variabel x terhadap variabel t saat nilai x ditetapkan.

Latihan 1

Jawablah soal berikut!

Persamaan garis singgung kurva y=3x+ 5x - 3 di titik(-2,7) adalah ....

A. y = 6x + 5

B. y = -7x + 2

C. y = 7x - 14

D. y = -7x - 7

E. y = 7x + 7

Latihan 2

Jawablah soal berikut!

Persamaan garis singgung dari kurva f(x) = 5x2 - 3x yang sejajar dengan garis y = 7x - 1 adalah ....

A. 7x - 5

B. 10x - 3

C. 5x - 3

D. 7x - 7

E. 7x - 1

Latihan 3

Jawablah soal di bawah ini!

Titik stasioner dari fungsi f(x) = x3 - 3x2 + 3x - 2 adalah ....

A. (1, 1)

B. (-1, 1)

C. (1, -1)

D. (-1, -1)

E. (1, 0)

Latihan 4

Jawablah soal di bawah ini dengan tepat!

Interval turun dari fungsi x- 12x - 5 adalah ....

A. x > 2

B. -2 < x < 2

C. x < -2

D. x < -2 atau x > 2

E. x > 0

Latihan 5

Jawablah soal berikut dengan tepat!

Sebuah bola menggelinding pada sebuah lintasan. Panjang lintasan didefinisikan dengan persamaan s=7-3t2+t3 dengan t sebagai waktu yang ditempuh. Kecepatan sesaat bola saat detik ke-2 yaitu ....

A. 0 m/s

B. 1 m/s

C. 2 m/s

D. 3 m/s

E. 4 m/s

redesain-navbar Portlet