redesain-navbar Portlet

BelajarPintarV3

Ukuran Sudut

 

Sebelum Sobatpintar memahami hubungan derajat dengan radian, mari pelajari teori mengenai radian berikut.

Satu radian diartikan sebagai besar ukuran sudut pusat  yang panjang busurnya sama dengan jari-jari

 

Jika  maka 

Jika panjang busur tidak sama dengan r, maka cara menentukan besar sudut tersebut dalam satuan radian dapat dihitung menggunakan perbandingan:

Lebih lanjut, dapat dikatakan bahwa hubungan satuan derajat dengan satuan radian, adalah 1 putaran sama dengan  Oleh karena itu, berlaku

seinggadapat disimpulkan :

bagaimana sobat pintar,udah sekali bukan?
 

Sudut Istimewa

coba sobat pintar perhatikan tabel sudut istimewa berikut

 

Dalam kajian geometris, sudut didefinisikan sebagai hasil rotasi dari sisi awal (initial side) ke sisi akhir (terminal side). Selain itu, arah putaran memiliki makna dalam sudut. Suatu sudut bertanda “positif” jika arah putarannya berlawanan dengan arah putaran jarum jam, dan bertanda “negatif” jika arah putarannya searah dengan arah putaran jarum jam. Arah putaran sudut juga dapat diperhatikan pada posisi sisi akhir terhadap sisi awal. Untuk memudahkannya, mari kita cermati deskripsi berikut ini.

 

Dalam koordinat kartesius, jika sisi awal berimpit dengan sumbu dan sisi terminal terletak pada salah satu kuadran pada koordinat kartesius, disebut sudut standar (baku). Jika sisi akhir berada pada salah satu sumbu pada koordinat tersebut, sudut yang seperti ini disebut pembatas kuadran, yaitu 

 

Sebagai catatan bahwa untuk menyatakan suatu sudut, lazimnya menggunakan huruf-huruf Yunani, seperti,  juga menggunakan huruf-huruf kapital, seperti A, B, C, dan D. Selain itu, jika sudut yang dihasilkan sebesar  maka sudut  disebut sudut koterminal, seperti yang dideskripsikan pada gambar di bawah ini.


 

Aturan perbandingan

Hubungan perbandingan sudut (lancip) dengan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku dinyatakan dalam definisi berikut.

1. Sinus C didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sudut dengan sisi miring segitiga, ditulis

2. Cosinus C didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di samping sudut dengan sisi miring segitiga

3.  Tangen C didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sudut dengan sisi di samping sudut, ditulis

4. Cosecan C didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi miring segitiga dengan sisi di depan sudut, ditulis

 atau 

5. Secan C didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi miring segitiga dengan sisi di samping sudut, ditulis

atau 

6.  Cotangen C didefinisikan sebagai perbandingan sisi di samping sudut dengan sisi di depan sudut, ditulis

 atau 

Latihan Soal 2

A. 5k

B. 25k

C. 15k

D. 7k

E. 9k

Sudut Istimewa

Pada saat mempelajari teori trigonometri, secara tidak langsung kamu harus menggunakan beberapa teori geometri. Dalam geometri, khususnya dalam kajian konstruksi sudah tidak asing lagi dengan penggunaan besar sudut  Pada subbab ini, sobat pintar akan menyelidiki dan menghitung nilai perbandingan trigonometri untuk ukuran sudut

berikut adalah Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa

jadi, sobat pintar perlu untuk memahami sudut sudut istimewa ini, atau bahkan sobat pintar perlu untuk menghafalnya

Latihan Soal 2

Diketahui . Tentukan nilai sudut  A dan B

A. A =B = 

B. A = B = 

C. A = B = 

D. A = B = 

E. A = B = 

Relasi 2 Sudut Lancip

Untuk memudahkan sobat pintar menyelidiki relasi nilai perbandingan trigonometri tersebut, perhatikan gambar dan penjelasan berikut ini

karena  sehingga 

sehingga dapat diperoleh 

selain itu, sobat pintar juga dapat menuliskan


Relasi dua sudut yang lancip dapat dituliskan sebagai berikut

Kemudian jika relasi sudut  pada kuadaran II, dapat ditulis

 

Kemudian jika relasi sudut pada kuadran III, dapat ditulis

 

Jika relasi sudut pada kuadran IV, dapat ditulis

Jika relasi sudut pada kuadran I, dapat ditulis

 

jika relasi sudut pada kuadran III, dapat ditulis

 

Dengan demikian, diperoleh bahwa

 

Untuk dengan cara yang sama dapat diperoleh kesimpulan bahwa


 

Nilai perbandingan nilai trigonometri untuk sudut-sudut istimewa

Berikut adalah nilai perbandingan nilai trigonometri untuk sudut istimewa supaya sobat pintar lebih mudah memahaminya

Sifat-sifat Trigonometri

Dengan memperhatikan secara cermat nilai-nilai pada tabel dan letaknya pada kuadran yang sudah di paparkan sebelumnya, maka dapat disimpulkan seperti dalam sifat berikut

 

Tanda positif dan negatif di setiap kuadran di atas diberikan untuk membantu sobat pintar mengingat nilai-nilai perbandingan trigonometri, Sifat di atas, hal penting dan yang lain juga dapat disimpulkan, yaitu sifat relasi antarsudut, seperti disimpulkan pada sifat berikut.


 

Identitas Trigonometri

 

Untuk setiap segitiga, dengan dengan sudut-sudutnya maka berlaku


 

Latihan Soal 1

Jalan k dan jalan l berpotongan di kota A. Dinas tata ruang kota ingin menghubungkan kota B dengan kota C dengan membangun jalan m dan memotong kedua jalan yang ada, seperti yang ditunjukkan Gambar dibawah. Jika jarak antara kota A dan kota C adalah 5 km, sudut yang dibentuk jalan m dengan jalan l adalah dan sudut yang dibentuk jalan k dan jalan adalah Tentukan jarak kota A dengan kota B.

 

A. 9,4 Km

B. 10,9 Km

C. 11,7 Km

D. 8 Km

E. 12 Km

Latihan Soal 2

Tentukan nilai s

A. 4,7

B. 2,5

C. 3,8

D. 8,8

E. 2

Aturan Sinus

Aturan sinus adalah sebuah aturan yang diturunkan berdasarkan hubungan perbandingan nilai sin dari suatu sudut dengan panjang sisi-sisi pada segitiga. Aturan sinus memperlihatkan perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang berhadapan dengan sisi tersebut. Dimana aturan sinus ini berlaku pada segitiga lancip dan segitiga tumpul.

1. Penggunaan Aturan Sinus

Menurut aturan sinus, dalam setiap segitiga ABC, perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang berhadapan dengan sisi tersebut mempunyai nilai yang sama.

Sehingga untuk segitiga sembarang berlaku Aturan Sinus sebagai berikut :

Keterangan :

a = panjang sisi a

A = besar sudut di hadapan sisi a

b = panjang sisi b

B = besar sudut di hadapan sisi b

c = panjang sisi c

C = besar sudut di hadapan sisi c

 

Contoh soal :

Diketahui segitiga ABC dengan besar <A = 37o, <B = 53o. Jika diketahui panjang sisi b = 10 cm, tentukanlah :

a. Besar <B

b. Panjang sisi a dan sisi c

Jawab :

Karena jumlah total sudut dalam segitiga adalah 180o, maka berlaku :

<A + <B + <C = 180o

<B = 180o - ( <A + <B )

<B = 180o - (37o + 53o)

<B = 180o - 90o

<B = 90o

berdasarkan aturan sinus, maka berlaku :

berdasarkan aturan sinus juga berlaku :

jadi panjang a = 6 cm dan panjang c = 8 cm.

Aturan Cosinus

Aturan cosinus adalah sebuah aturan yang diturunkan berdasarkan hubungan antara panjang sisi-sisi dalam segitiga dengan nilai cosinus salah satu sudut pada segitiga tersebut. Aturan cosinus diturunkan dengan memanfaatkan teorema Pythagoras dan trigonometri. Dimana aturan cosinus juga berlaku untuk segitiga lancip dan segitiga tumpul.

1. Penggunaan Aturan Cosinus

Aturan cosinus dalam segitiga memperlihatkan hubungan antara kuadrat panjang sisi dalam segitiga dengan nilai cosinus dari salah satu sudutnya. Pada persamaan aturan cosinus, salah satu sudut tersebut diletakkan di sebelah kanan dan bersesuaian dengan sisi yang berbeda di sisi kiri.

Untuk setiap segitiga ABC, berlaku aturan cosinus sebagai berikut

Keterangan :

a = panjang sisi a

A = besar sudut di hadapan sisi a

b = panjang sisi b

B = besar sudut di hadapan sisi b

c = panjang sisi c

C = besar sudut di hadapan sisi c

Coba perhatikan ketiga rumus di atas, dari rumus tersebut dapat kita lihat sebuah pola yaitu sudut yang digunakan dalam rumus adalah sudut yang berhadapan dengan sisi yang berada disebelah kiri persamaan tersebut.

 

Contoh soal :

Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 10 cm, panjang sisi c = 12 dan besar sudut B = 52o. Tentukan panjang sisi b!

Jawab :

Diketahui : a = 10 cm, c = 12 cm, <B = 52o

berdasarkan aturan cosinus

Jadi panjang sisi b adalah 9,8 cm

Mencari Luas Segitiga

Perhatikan segitiga ABC di bawah ini

sin A = CD / b

CD = b . sin A

Seperti yang kita ketahui dalam pelajaran matematika di sekolah dasar, rumus luas segitiga adalah :

L = 1/2 . a. t

dalam segitiga ABC di atas maka dapat kita nyatakan

L = 1/2 . a . t

L = 1/2 . AB . CD

L = 1/2 . c . b sin A

Maka Luas segitiga ABC di atas bisa didapat dengan rumus

L = 1/2 . b . c sin A

L = 1/2 . a . c sin B

L = 1/2 . a . b sin C

Latihan 1

Pada segitiga ABC diketahui bahwa <A = 30o, BC = 6 cm dan AC = 10 cm. Maka tentukanlah nilai dari sin B!

A. 2/5

B. 6/5

C. 5/6

D. 3/5

E. 1/2

Latihan 2

Tentukan panjang X pada gambar di bawah ini!

A. 4 cm

B. 5 cm

C. 6 cm

D. 7 cm

E. 8 cm

Materi Matematika Umum - Umum Lainnya

redesain-navbar Portlet